Розподілу випадкових величин

Можна уявляти собі розподіл випадкової величини як відповідність між множинами і можливостями.

Розподілу випадкових величин суть основні об'єкти вивчення в теорії ймовірностей. Ми не будемо, як правило, цікавитися тим, з якого безлічі діє функція і яким саме елементарним наслідків зіставляє свої можливі значення. Нас частіше буде цікавити те, на безлічі який ймовірності цих значень приймаються. Наведемо кілька прикладів абсолютно різних випадкових величин, що мають один і той же розподіл (однаково розподілених).

1. Один раз кидається правильна монета. Простір складається з двох елементарних фіналів # 151; герб і решка. Як -алгебри розглянемо безліч всіх підмножин. Імовірність задамо як у класичній схемі. Задамо дві випадкові величини і так: покладемо

= 1, якщо = герб. і = 0, якщо = решка;

= 0, якщо = герб. і = 1, якщо = решка.

Очевидно, для будь-якого безлічі вірогідності може належати для і однакові. Проте ні для одного елементарного результату значення і не збігаються. Тобто і однаково розподілені. але не однакові (як функції).

2. Точка навмання кидається на відрізок [0, 1]. В цьому випадку є відрізок [0, 1] з сигма-алгеброю борелевская підмножин і заходом Лебега. Пропоную Новомосковсктелю переконатися, що дві абсолютно різні функції: і (відстані до впала точки від лівого і правого кінців відрізка відповідно) мають однакові можливостями приймати значення всередині будь-яких борелевская множин (ймовірно, рівні міру Лебега перетину множин і [0, 1]). Таким чином, ці випадкові величини знову однаково розподілені, але не однакові: їх значення співпадають лише за однієї елементарному кінець = 0.5 (намалювати графіки функцій і).

3. На тому ж самому відрізку [0, 1] побудуємо дві функції: = 0 при всіх; = 0 при всіх, крім = 0.5, а в точці = 0.5 покладемо = # 151; 17.

Оскільки міра Лебега точки (вона ж # 151; ймовірність) дорівнює нулю, розподілу величин і однакові. Тепер і знову не збігаються як функції, але відрізняються їх значення лише на безлічі нульової ймовірності (тільки в точці 0.5). У цьому випадку говорять, що і збігаються «майже напевно». .

Опишемо різні типи розподілів випадкових величин. Вся імовірнісна маса може бути зосереджена в декількох точках прямої, може бути «розмазана» по деякому інтервалу або по всій прямій. Залежно від типу безлічі, на якому зосереджена вся одинична імовірнісна маса, розподілу ділять на дискретні, абсолютно безперервні, сингулярні і їх суміші.

Визначення 29. Cлучайное величина має дискретний розподіл, якщо існує кінцевий або рахунковий набір чисел такий, що

Отже, випадкова величина має дискретний розподіл, якщо вона приймає не більше ніж рахункове число значень. Значення ці інакше називають атомами: має атом в точці, якщо.

Якщо випадкова величина має дискретний розподіл, то для будь-якого

Дискретний розподіл зручно задавати наступною таблицею, в якій:

Визначення 30. Cлучайное величина має абсолютно неперервний розподіл, якщо існує невід'ємна функція така, що для будь-якого борелівської безлічі має місце рівність:

Функцію називають щільністю розподілу випадкової величини.

Зауваження 11. Інтеграл вище є інтеграл Лебега, а не Рімана. Цілком достатньо, якщо Новомосковсктель, що не знайомий з інтегралом Лебега, буде представляти його собі просто як площа під графіком підінтегральної функції над безліччю. При цьому площа над безліччю, що має нульову міру Лебега, дорівнює нулю. Зауважимо, що будь-яка функція, що відрізняється від функції лише в кінцевому або рахунковому числі точок (або на безлічі нульової міри Лебега), буде щільністю того ж розподілу, так як інтеграл не зміниться від зміни підінтегральної функції на безлічі міри нуль.

Теорема 17. Щільність розподілу має властивості:

Доказ. (F1) виконано по визначенню щільності, (f2) також випливає з визначення:

Ці дві властивості повністю характеризують клас щільності:

Теорема 18. Якщо функція має властивості (f1) і (f2). то існує імовірнісний простір і випадкова величина на ньому, для якої є щільністю розподілу.

Доведення. Нехай є область, яка знаходиться між віссю абсцис і графіком функції. Площа області дорівнює одиниці по властивості (f2). нехай # 151; безліч борелевская підмножин, а # 151; міра Лебега (площа) на множинах з. І нехай випадкова величина є абсциса точки, навмання кинутої в цю область.

Тоді для будь-якого виконано:

Тут область є криволінійна трапеція під графіком щільності, з повним правом. За визначенням, рівність (10) означає, що функція є щільністю розподілу випадкової величини.

Властивість 7. Якщо випадкова величина має абсолютно неперервний розподіл, то для будь-кого.

Доведення. Доказ відразу випливає з визначення 30 і зауваження 11. так як інтеграл по області інтегрування, що складається з однієї точки, дорівнює нулю.

Можна виділити ще один особливий клас розподілів, зосереджених, на відміну від абсолютно безперервних розподілів, на безлічі нульової міри Лебега, але не мають, на відміну від дискретних, атома ні в одній точці цієї множини.

Визначення 31. Кажуть, що випадкова величина має сингулярне розподіл, якщо існує борелевская безліч з нульовою лебеговой мірою таке, що, але при цьому для будь-якої точки.

Можна відзначити наступне властивість сингулярних розподілів. Безліч, на якому зосереджено все розподіл, не може складатися з кінцевого або рахункового числа точок. Дійсно, якщо звичайно або лічильно. то, де підсумовування ведеться за всіма. Остання сума дорівнює нулю як сума рахункового числа нулів, що суперечить припущенню.

Таким чином, будь-який сингулярне розподіл зосереджено на незліченну безліч з нульовою мірою Лебега. Прикладом такого безлічі може служити канторовской вчинене безліч. а прикладом такого розподілу # 151; сходи Кантора (з'ясувати, що це таке!).

Нарешті, розподіл може бути опуклою лінійною комбінацією дискретного, абсолютно безперервного і сингулярного розподілів.

Визначення 32. Кажуть, що випадкова величина має змішане розподіл, якщо знайдуться такі випадкові величини, і # 151; з дискретним, абсолютно безперервним і сингулярним розподілами відповідно (або такі три розподілу), і числа,, що для будь-якого має місце рівність:

За заданим на одному імовірнісний просторі випадковим величинам,, і числам можна побудувати випадкову величину зі змішаним розподілом так: нехай # 151; випадкова величина з дискретним розподілом на тому ж імовірнісний просторі така, що для, і при будь-якому і кожному події і незалежні.

Побудуємо випадкову величину так:, якщо, де. Її розподіл знайдемо за формулою повної ймовірності.

В силу незалежності подій під знаком кожної з ймовірностей,

Ніяких інших видів розподілів, крім перерахованих вище, не існує (доведено Лебегом).