Розподіл співробітників підприємства за віком

Для визначення середнього віку персоналу знайдемо середини вікових інтервалів. При цьому величини відкритих інтервалів (першого і останнього) умовно прирівнюються до величинам інтервалів, що примикають до них (другого і передостаннього). З огляду на це середини інтервалів будуть наступними:

22,5 27,5 35,0 45,0 55,0 65,0

Використовуючи середню арифметичну зважену, визначимо середній вік працівників даного підприємства:

Приклад 1. Розглянемо застосування середньої гармонійної на конкретному прикладі. Припустимо, спостерігаючи за роботою п'яти робочих протягом однієї години ми отримали наступні дані про витрати ними робочого часу на виготовлення однієї деталі (x) в годиннику: 0,2; 0,3; 0,3; 0,5; 0,5.

Потрібно розрахувати середній час, що витрачається одним робочим на виготовлення деталі.

Для вирішення необхідні дані про загальні витрати часу всіх п'яти робочих і про кількість вироблених за цей час деталей. Будемо виходити з припущення, що робітники працювали одну годину. Тоді загальні витрати часу складуть 5 людино-годин. За цей час перший робочий виробить 1 / 0,2 = 5 деталей, другий і третій по 1 / 0,3 = 3,3 деталі, а четвертий і п'ятий по 1 / 0,5 = 2 деталі. Всі разом вони виробили 15,6 деталей. В середньому на одну деталь витрачалося 5 / 15,6 = 0,32 години. Якщо всі розрахунки представити у вигляді формули, то остання і буде являти собою середню гармонійну просту:

Приклад 2. (Кільдишев) Розглянемо наступний приклад. Один робочий протягом 8 год. роботи витрачав на виготовлення деталі 2 хв. другий 6 хв. Скільки часу в середньому двоє робітників витрачали на виробництво деталі?

1) Обчислимо середнє арифметичне час: (2 + 6) / 2 = 4. Міркуємо далі. Якщо в середньому на одну деталь витрачається 4 хвилини, то в годину буде проводитися (60/4) = 15 деталей, а за 8 годин 120 деталей. Двоє робітників протягом дня вироблять 2 * 120 = 240 деталей. Цей розрахунок зроблений за допомогою середньої арифметичної.

2) Міркуємо по-іншому, використовуючи індивідуальні норми виробітку. Перший робочий за годину виробляє (60/2) = 30 деталей, а за 8 годин - 240 деталей. Другий - за годину (60/6) = 10 деталей, за 8 годин - 80 деталей. Отже, за день обидва робочих справлять 240 + 80 = 320 деталей, а не 240 як ми знайшли за методом середньої арифметичної. Чи означає це що середня арифметична невірна? Ні, просто вибрана не та середня, яку треба застосовувати в даному випадку.

Щоб відшукати потрібну нам середню будемо міркувати так. Знайдемо норму часу на вироблення однієї деталі як

,

де t - час, витрачений окремим робочим;

q - кількість продукції, виробленої окремим робочим.

Цей розрахунок і формула будуть вірні незалежно від того, що прийняти за одиницю часу. Якщо норму обчислюємо в хвилинах чи годинах, то витрачений час так само виражається в хвилинах або годинах. Кількість виробів нам невідомо, але його можна розрахувати, розділивши витрати часу окремих робочих на їх індивідуальні норми.

Середня норма як відношення витрат часу до всієї кількості деталей дорівнює: N = 120/40 = 3 (хв).

120 хв - це 60 * 2, 40 це - число деталей за годину, вироблене двома робітниками. Таким чином, середня норма часу складе 3 хвилини.

Якщо робочий виробляє виріб за 3хв. то за годину він виготовить 20 виробів, за зміну -160, а удвох - 320!

Розрахунки можна представити у вигляді середньої гармонійної невиваженою:

, де - витрати часу на одну деталь.

В цілому ряді випадків застосування з

редней арифметичної або середньої гармонійної визначається лише наявністю вихідних даних.

Приклад 3. Розглянемо наступні дані про реалізацію продукту одного виду на трьох ринках:

Потрібно розрахувати середню ціну, по якій продавався товар.

1) Припустимо, ми маємо в своєму розпорядженні тільки даними про ціни на трьох ринках і про кількість товару, проданого на кожному з них. При цьому ціни на окремих ринках виступають в якості варіантів, а кількість проданого товару - в якості ваг. Тоді середня ціна визначиться по по середньої арифметичній виваженої, тобто

2) Тепер припустимо, що кількість проданого товару невідомо, а відомі лише ціни і виручка від продажу. В цьому випадку логічні міркування залишаються тими ж, але розрахунок слід записати в формі середньої гармонійної зваженої.

Виручка від продажу певного виду товару - не що інше, як

. Частка від ділення виручки від продажу на ціну за од. продукції за певним видом продукції дасть нам частоту:, тоді формула для розрахунку середньої величини набуває вигляду середньої гармонійної зваженої:

Середня гармонійна зважена застосовується, коли статистична інформація не містить частот f по окремим одиницям сукупності, а представлена ​​як добуток xf.

Результат, як і слід було очікувати, вийшов той же.