Розбір задач категорії в13

Прямокутний паралелепіпед описаний близько циліндра, радіус підстави і висота якого рівні 6. Знайдіть об'єм паралелепіпеда.

Висота прямокутного паралелепіпеда дорівнює висоті циліндра, тобто 6.

Раз підставу циліндра вписано в основу прямокутного паралелепіпеда, то в основі паралелепіпеда - квадрат. І оскільки радіус основи циліндра дорівнює 6, то сторони підстави прямокутного паралелепіпеда дорівнюють 12.

Площа грані прямокутного паралелепіпеда дорівнює 21. Ребро, перпендикулярний цій межі, дорівнює 3. Знайдіть об'єм паралелепіпеда.

Обсяг прямокутного паралелепіпеда (прямий призми) дорівнює, де - висота призми (в даному випадку - ребро, перпендикулярний межі, площа якої відома).

Діагональ прямокутного паралелепіпеда дорівнює і утворює кути 30 °, 30 ° і 45 ° з площинами граней паралелепіпеда. Знайдіть об'єм паралелепіпеда.

1) Нехай розглянута діагональ -. Кут між діагоналлю і площиною нижньої основи - є кут, так як - проекція похилої на площину підстави.

Кут між діагоналлю і площиною бічної грані - є кут так як - проекція похилої на площину.

Аналогічно кут між діагоналлю і площиною грані - є кут

2) Нехай (якщо градусні міри кутів розподілятися інакше (в іншому порядку), - це ніяк не вплине на рішення).

4) Прямокутний трикутник - рівнобедрений з гіпотенузою тому його катети рівні (наприклад тому, що, звідки).

5) Отже, ребра прямокутного паралелепіпеда дорівнюють

Тоді обсяг паралелепіпеда дорівнює

Межею паралелепіпеда є ромб зі стороною 4 і гострим кутом 60 °. Одне з ребер паралелепіпеда становить з цією гранню кут в 60 ° і дорівнює 5. Знайдіть об'єм паралелепіпеда.

1) Обсяг паралелепіпеда знаходимо за формулою, де - висота паралелепіпеда.

Площа ромба () із заданою стороною і кутом є

Підставляючи відомі величини, отримуємо:

2) Кут між ребром (наприклад,) і межею підстави () - є кут між цим ребром () і проекцією ребра на площину підстави (, де - проекція точки на), тобто

У прямокутному трикутнику

Знайдіть об'єм паралелепіпеда, якщо обсяг трикутної піраміди дорівнює 3.

Нехай підставу паралелепіпеда -.

де - висота паралелепіпеда.

(Висота у піраміди така ж, що і у паралелепіпеда)

При цьому основа піраміди - половина підстави паралелепіпеда:

Отже, отримуємо, що обсяг паралелепіпеда є 6 обсягів піраміди, тобто обсяг паралелепіпеда дорівнює 18.

Час перепочити, чи не так? -> + показати

Матеріали для підготовки до ЄДІ

Сайт А. Ларіна ЕгеТренер - О. Себедаш Математика? Легко! ЄДІ? Ок! - І. Фельдман