Ряди Тейлора і Маклорена
Завдання на розкладання функцій в ряди Тейлора і Маклорена дуже важливі в курсі вищої математики при наближеному обчисленні значень функцій в певних точках, наближенні похідних в точках, складних межах. Тому уважно розберіться з наведеним нижче матеріалом. Почнемо з основних визначень.
Поруч Тейлора для функції f (x) за умови, що вона визначена в околиці точки a. а також її кінцеві похідні будь-якого порядку називається ряд виду
Нехай сума ряду задана формулою
тоді формула Тейлора має вигляд
називають залишковим членом формули Тейлора.
Нескінченно диференційована функція f (x) на інтервалі розкладається в ряд Тейлора тільки у випадках, коли на цьому інтервалі виконується умова
При нульовому значенні формула Тейлора перетворюється в ряд Маклорена:
РОЗКЛАД В ряд Маклорена ЕЛЕМЕНТАРНИХ ФУНКЦІЙ
Приклад 1. Розвинути в ряд Тейлора функцію (9.293)
Рішення. Розкладання по ступенях множника слід розуміти, як розклад в точці Обчислимо значення функції і її похідних в цій точці
Підставляємо отримані значення в ряд Тейлора
Спрощено ряд можна записати у вигляді суми
Досліджуємо збіжність отриманого ряду за ознакою Деламбер
З умови знаходимо область збіжності
Досліджуємо межі інтервалу. При значенні ряд
перетворюється в гармонійний зі знаком мінус. Цей ряд розходиться. При отримаємо знакопочережній ряд виду
який убуває.
Таким чином, областю збіжності ряду є. Досліджуючи залишковий член ряду
формули Тейлора для даної функції, переконуємося, що в заданому інтервалі ряд збігається і залишковий член ряду істотного внеску при великих не вносить.