ряд Діріхле

Поруч Дирихле називається ряд виду

Абсцисою збіжності ряду Діріхле називається таке число # X03C3; c>. що при Re s> # X03C3; c \, s> \ sigma _> він сходиться; абсциссой абсолютної збіжності називається таке число # X03C3; a. що при Re s> # X03C3; a \, s> \ sigma _> ряд сходиться абсолютно. Для будь-якого ряду Діріхле справедливо співвідношення 0 # X2A7D; # X03C3; a # X2212; # X03C3; c # X2A7D; 1 \ leqslant 1> (якщо # X03C3; c> і # X03C3; a кінцеві).

Цей ряд відіграє значну роль в теорії чисел. Найбільш поширеним прикладом ряду Діріхле є дзета-функція Рімана. а також L-функція Діріхле. Ряд названий на честь Густава Діріхле.

Збіжність в різних точках

Якщо деякий ряд сходиться в комплексній точці s 0 = # X03C3; 0 + t 0 i = \ sigma _ + t_i>. то цей же ряд сходиться в будь-якій точці s = # X03C3; + T i. для котрої # X03C3;> # X03C3; 0>. З цього випливає, що існує деяка точка # X03C3; = # X03C3; c> така, що при Re # X2061; s> # X03C3; c s> \ sigma _> ряд сходиться, а при Re # X2061; s <σ c s<\sigma _> --- розходиться. Така точка називається абсцисою збіжності.

Поведінка функції при Re # X2061; s s> може бути різним. Едмунд Ландау показав, що точка s = # X03C3; c> є особливою для деякого ряду Діріхле, якщо # X03C3; c> - його абсциса збіжності.