Ризикова надбавка - студопедія

Розглянемо задачу визначення ризикової надбавки. Нехай компанія має однорідний портфель n договорів з однаковими страховими сумами S і можливостями настання страхових випадків р. Компанію цікавить не тільки середнє число випадків ін. Але і величина можливого досягнення обмеження d і ймовірність такого відхилення. Оскільки в основі процесу лежить біноміальний закон, що цікавить нас оцінка може бути отримана за допомогою інтегральної теореми Лапласа:

(У більш загальному випадку, коли ця теорема не застосовується, використовується нерівність Чебишева).

Приклад 12. Нехай число договорів п = 1000, р = 0.1 - ймовірність настання страхового випадку. Тоді пр = 100 - середнє очікуване число випадків. Компанію цікавить ймовірність того, що фактичне число випадків не перевищить деякого заданого значення max (m). Якщо термін дії договорів один рік, то якою має бути ця межа, щоб вона перевищувалася не частіше, ніж раз в 20 років? Яка при цьому ризикова надбавка? Припустимо, що в цій підгалузі страхування надбавка, в середньому, становить 10% від ризикової премії. Оцінити конкурентоспроможність компанії.

Імовірність порушення правої межі: (1-Ф (t)) / 2 = 0.05 тоді Ф (t) = 0.9 і по таблиці знаходимо t = 1.645;

При надбавку 15.6% можна забезпечити з надійністю 0.95 (порушення не частіше ніж один раз на 20 років), що число страхових випадків не перевищить 100 + 15.6 = 115.6.

З позиції конкурентоспроможності надбавка 15.6% велика, а ймовірність розорення (раз в 20 років) занадто велика (по західно-європейським стандартам). Спробуємо змінити умови.

Приклад 13. Нехай в умовах прикладу 12 ми хочемо забезпечити ймовірність розорення не вище 0.01 (не частіше разу на 100 років). Тоді Ф (t) = 0.98 і t = 2.325.Следовательно, d = 2.325 · 9.48 = 22.1, тобто надбавка збільшилася майже в 1.5 рази і досягла 22.1% - занадто багато (для нашого прикладу).

Приклад 14. Розрахуємо надійність, яку може забезпечити надбавка в 10%. d = 100 · 10% = 10; t = l 0 / 9.48 = 1.053; Ф (t) = 0.71; Рг = (1-0.71) /2=0.145. Отже, ймовірність розорення досягла 0.145 (один раз в сім років), що абсолютно неприйнятно.

В даному випадку неприємності страховика викликані протиріччям між відносно високою ймовірністю настання страхового випадку 0.1 і порівняно невеликим обсягом страхового портфеля n = 1000.

Проаналізуємо ситуацію в іншого страховика, який має справу з такими ж ризиками р = 0.1. але обсяг портфеля у нього в 10 разів більше: п = 10000.

Приклад 15. Отже n = 10000, р = 0.1, nр = 1000. Якщо Рг = 0.05, то Ф (t) = 0.9; t = 1.645; d = l.645 · 30 = 49.35, тобто надбавка становить 49.35 / 1000 = 0.005 проти 0.0156 в п.1. - зменшилася втричі! Це означає, що на кожну тисячу договорів (при однаковій надійності) у другого страховика відхилення будуть втричі менше. Отже, він може відповідно знизити надбавку, і тоді його тарифи будуть нижчими, ніж у конкурента. Тоді конкурент з малим портфелем теж повинен знизити свої тарифи, а це різко знизить його надійність, і, швидше за все, він розориться (в цьому прикладі ми не розглядаємо інші шляхи підвищення надійності). Цей приклад показує, чому великі компанії виживають, а дрібні розоряються.

Приклад 16. Нехай велика компанія (n = 10000) прагне забезпечити ймовірність розорення не вище 0.01 (раз в 100 років). Тоді Ф (t) = 0.98; t = 2.325; d = 2.325 · 30 = 69.75; надбавка 69.75 / 1000 = 7% цілком прийнятна. Це означає, що така компанія може обійтися практично без страхових резервів, в той час як її слабке конкурент зобов'язаний створити солідний резерв зі своїх коштів. Ще одна перевага.

Приклад 17. Нехай n = 10000, d = 100, тоді t = 100/30 = 3.33, що відповідає F (t) = 0.999 і ймовірності розорення 0.0005.

Приклад 18. За результатами прикладів 15-17 очевидно, що для великої компанії доцільно зупинитися на варіанті: ймовірність розорення 0.01 і надбавка 7%. При цьому вона вирішує завдання забезпечення достатньої надійності за рахунок клієнта, але її послуги ще й дешевше середніх на страховому ринку. Це ідеальний варіант для компанії.

Мала компанія (приклади 12-14) не має жодного прийнятного варіанту, їй для підвищення надійності необхідно збільшити початковий капітал і вдатися до перестрахування. Але у малій компанії і своїх коштів мало.

Порівняти стійкість компаній можна і по відхиленню (точніше, перевищення) фактичного числа страхових випадків m від очікуваного n · р на кожні 100 договорів (при однаковій надійності). Наприклад, ймовірність розорення 0.01. Тоді для малої компанії отримали надбавку 22.1%. тому на кожні 100 договорів у цій компанії з ймовірністю 0.99 число страхових випадків не перевищить: n · р · (1 + Q1) = 100 · 0.1 · (1 + 0.221) = = 12.21, а для великої компанії права межа довірчого інтервалу при надбавку в 7% буде дорівнює. 10 · 1.07 = 10.7. тобто в середньому на півтора випадку менше.

Таким чином, якщо на страховому ринку в даній підгалузі середня надбавка становить 10%, то мала компанія не в змозі витримати конкуренції, а велика, маючи солідний запас міцності (7%), тримається на плаву, не докладаючи для цього ніяких зусиль (тільки тому , що вона - велика!). Вона навіть може знизити свій тариф (у порівнянні із середнім), наприклад, продавати свої поліси (умовно) за 107 одиниць, в порівнянні з ціною 110 (в середньому) і з ціною 122 у малій компанією. І тим самим витіснити конкурентів з ринку. Нічим при цьому не ризикуючи.

Таким чином, проілюстровано перевага великих компаній.

Якщо актуарні розрахунки показали, що компанія не в змозі забезпечити достатньо високу надійність за рахунок ризикової надбавки, то вона зобов'язана підвищити надійність шляхом створення достатніх початкових резервів і (або) перерозподілити ризик шляхом перестрахування.

Відзначимо, що ризикова премія + ризикова надбавка = нетто-премія. Якщо навантаження на ведення справ f становить фіксований відсоток від тарифу, можна знайти брутто-премію, розділивши нетто-премію на (1-f).