Рівняння з відокремлюваними змінними

Диференціальне рівняння першого порядку \ (y '= f \ left (\ right) \) називається рівнянням із перемінними. якщо функцію \ (f \ left (\ right) \) можна представити у вигляді добутку двох функцій, що залежать тільки від \ (x \) і \ (y: \) \ [f \ left (\ right) = p \ left ( x \ right) h \ left (y \ right), \] де \ (p \ left (x \ right) \) і \ (h \ left (y \ right) \) - безперервні функції.

Розглядаючи похідну \ (\) як відношення диференціалів \ (\ large \ frac >> \ normalsize, \) перенесемо \ (dx \) в праву частину і розділимо рівняння на \ (h \ left (y \ right): \) \ [ \ frac >> = p \ left (x \ right) h \ left (y \ right), \; \; \ Rightarrow \ frac >> = p \ left (x \ right) dx. \] Зрозуміло, потрібно переконатися, що \ (h \ left (y \ right) \ ne 0. \) Якщо знайдеться число \ (\) при якому \ (h \ left (> \ right) = 0, \) то це число буде також бути рішенням диференціального рівняння. Розподіл на \ (h \ left (y \ right) \) призводить до втрати зазначеного рішення.

Позначивши \ (q \ left (y \ right) = \ large \ frac> \ normalsize, \) запишемо рівняння у формі: \ [q \ left (y \ right) dy = p \ left (x \ right) dx. \ ] Тепер змінні розділені і ми можемо проінтегрувати диференціальне рівняння: \ [\ int = \ int + C, \] де \ (C \) - постійна інтегрування.

Обчислюючи інтеграли, отримуємо вираз \ [Q \ left (y \ right) = P \ left (x \ right) + C, \] описує загальне рішення рівняння із перемінними.

Знайти всі рішення диференціального рівняння \ (y '= - x. \)

Перетворимо рівняння таким чином: \ [>> = - x,> \; \; >>> = - xdx,> \; \;> dy = - xdx.> \] Очевидно, що розподіл на \ (\) не приводить до втрати рішення, оскільки \ (> 0. \) Після інтегрування одержуємо \ [> dy> = \ int \ right) dx> + C,> \; \;> = - \ frac >> + C> \; \; \; \;> = \ Frac >> + C.> \] Даний відповідь можна виразити в явному вигляді: \ [>> + C> \ right)> \; \; \; \; Y = - \ ln \ left (>> + C> \ right).> \] В останньому виразі передбачається, що константа \ (C> 0, \) щоб задовольнити області визначення логарифмічної функції.

Знайти приватне рішення диференціального рівняння \ (x \ left (\ right) y '= \ ln x + 1 \) за умови \ (y \ left (1 \ right) = - 1. \)

Розділимо обидві частини рівняння на \ (x: \) \ [\ right) \ frac >> = \ ln x + 1,> \; \; \ Right) dy = \ frac \ right) dx >>.> \] Ми припускаємо, що \ (x \ ne 0, \) оскільки областю визначення вихідного рівняння є безліч \ (x> 0. \)

Знайдемо тепер значення \ (\) задовольнить початковому умові \ (y \ left (1 \ right) = - 1: \) \ [\ right) ^ 2> + 4 \ left ( <- 1> \ Right) = \ right) ^ 2> +,> \; \; = - 3.> \] Таким чином, приватне рішення диференціального рівняння з заданим початковим умовою (задача Коші) описується алгебраїчним рівнянням: \ [2 + 4y = \ right) ^ 2> - 3. \]

Вирішити рівняння \ (y \ left (\ right) dx = x \ left (\ right) dy. \)

Твір \ (xy \) в кожній частині не дозволяє розділити змінні. Тому, ми зробимо заміну: \ [xy = t \; \; \ text \; \; y = \ frac. \] Співвідношення для диференціалів має вигляд: \ [dy = \ frac >>>. \] Підставляючи це в рівняння , отримуємо: \ [\ frac \ left (\ right) dx = x \ left (\ right) \ frac >>>. \] Далі, множачи обидві частини \ (x, \) можна після відповідних скорочень записати: \ [t \ left (\ right) dx = \ left (\ right) \ left (\ right). \] Врахуємо, що \ (x = 0 \) є рішенням рівняння (це можна перевірити безпосередній підстановкою).