Рівняння дотичної і нормалі до графіка функції

Головна | Про нас | Зворотній зв'язок

Розділ 8. Диференціальне числення функцій однієї змінної.

1. Похідна функції, її геометричний і фізичний зміст

2. Рівняння дотичної і нормалі до графіка функції.

3. Таблиця похідних.

4. Основні правила диференціювання.

5. Зв'язок безперервності і диференційованої.

6. Диференціал функції.

7. Формула наближених обчислень значень функцій за допомогою диференціала.

8. Основні теореми диференціального числення

9. Формула Тейлора.

10. Дослідження функції за допомогою першої похідної.

11. Дослідження функції за допомогою другої похідної.

12. Приклад повного дослідження функції.

Похідна функції, її геометричний і фізичний зміст.

Розглянемо функцію. дамо аргументу приріст отримаємо нове значення функції У результаті функція одержить збільшення (х).

Визначення. Похідної функції в довільній точці називається границя відношення приросту функції в цій точці до приросту аргументу при

Похідна функції в точці позначається Отже, за визначенням

Приклад 1. Знайти похідну функції

Рішення. За визначенням

Якщо аргумент інтерпретувати як час t руху матеріальної точки, а шлях, пройдений цією точкою змінюється згідно із законом. то відношення означає середню швидкість точки на часовому проміжку Тоді означає миттєву швидкість точки в будь-який момент часу - в цьому полягає фізичний зміст похідної.

Оскільки всі процеси в природі знаходяться в русі, в розвитку, а характеристикою будь-якого руху є швидкість, то ясно, яке значення в вивченні реальних процесів належить похідної функції.

Ми часто користуємося графіками функцій, тому розглянемо геометричний зміст похідної.

Рівняння дотичної і нормалі до графіка функції.

Розглянемо функцію і напишемо рівняння дотичної до графіка цієї функції в деякій точці де (см.ріс.2)

Скористаємося рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом і опорною точкою: у - = k (x - Виходячи з геометричного сенсу похідної Позначимо це число отже, рівняння дотичної має вигляд:.

Нормаллю до кривої в точці називається пряма, перпендикулярна дотичній до кривої в цій точці. Умова перпендикулярності двох прямих полягає в тому, що твір їх кутових коефіцієнтів одно - 1. Отримуємо остаточний висновок:

- рівняння нормалі до графіка функції в точці. де.

Приклад 2. Написати рівняння дотичної і нормалі до графіка функції в точці

Рішення. Скористаємося рівняннями дотичній і нормалі - залишилося знайти ((0). Так як (x) = = cosx, то (0) = cos0 = 1. Отримуємо:. Тобто бісектриса I-III координатних кутів, є дотичною графіка синуса в початку координат; - рівняння нормалі.

Першим неодмінною умовою освоєння техніки диференціювання є знання таблиці похідних, тобто похідних всіх основних елементарних функцій. Наводимо докази.

а) - показова функція.