Рішення задач на спільну роботу

Тема. Завдання на спільну роботу (басейн)

1) Зазвичай обсяг роботи приймають за одиницю. У завданнях з басейнами і трубами обсяг басейну приймають за одиницю. Але можна також позначити будь-якою літерою (довільної сталої).

2) Продуктивність роботи - це кількість роботи, виконаної за одиницю часу.

Наприклад, якщо одна труба наповнює басейн за 5 годин, то за

1 годину вона наповнить басейну. Якщо токар виконує завдання за 12 днів, то за 1 день він виконає частину завдання.

3) При вирішенні завдань, пов'язаних з виконанням (індивідуально або спільно) певного обсягу роботи, використовують формулу

де А - кількість всієї роботи, наміченої до виконання (за змістом завдання часто А приймають за одиницю), t - час виконання усієї кількості роботи, P - продуктивність праці, т. е. кількість роботи, виконуваної в одиницю часу.

Якщо весь обсяг роботи, прийнятий за одиницю, виконується одним суб'єктом за t1. а другим - за t2 одиниць часу, то продуктивність праці при їх спільному виконанні того ж обсягу роботи дорівнює

Рішення задач на спільну роботу

Приклад 1. Дві труби разом наповнюють басейн за 3 год. Одна перша труба може наповнити басейну на 8 год швидше, ніж одна друга труба. За скільки годин може наповнити басейн одна перша труба?

Рішення. Типова задача на роботу. Нехай 1-я труба наповнює басейн за х (ч), а 2-я за - у (ч). Тоді + - обсяг, що наповнюється обома трубами разом за 1ч. Так як дві труби наповнюють басейн за 3 год, то за 1 год вони наповнять обсягу басейну. Рівняння + =; за умовою у - х = 8. З системи х = 4; у = 12.

Зауваження. Щоб замість дрібно - раціональних рівнянь отримати лінійні за невідому величину іноді раціональніше прийняти продуктивність.

Приклад 2. Басейн наповнюється чотирма трубами за 4 години. Перша, друга і четверта заповнюють за 6 годин. Друга, третя і четверта - за 5 годин. За скільки годин заповнюють басейн перша і третя труби?

Рішення. Нехай x, y, z, u - продуктивності 1-й, 2-й, 3-й і 4-й труб. (Якщо за невідоме прийняти час виконання всього обсягу роботи, то рівняння вийдуть складніше). Тоді отримуємо систему рівнянь

Віднімаючи з 1-го рівняння 2-е, отримуємо z =; з 1-го 3-е, що - х =.

Загальна продуктивність 1 і 3 труб z + x =.

Тоді шукане час = 7,5 ч

Приклад 3. Дві труби, працюючи спільно, наповнюють басейн за 6 годин. За якийсь час наповнює басейн кожна труба, якщо відомо, що протягом години з першої труби витікає па 50% більше води, ніж з другої?

Рішення. Нехай х л води в годину випливає з першої труби (продуктивність 1труби), у л води в годину випливає з другої труби (продуктивність 2труби), тоді за 1 годину обидві труби наповнять (х + у) л або басейну.

Протягом години з першої труби витікає на 50% більше води, ніж з другої, тобто х = 1,5у.

Таким чином, за 1 годину перша труба наповнює басейну, а друга басейну. Тобто перша труба наповнить весь басейн за 10 годин, а друга - за 15 годин.

Відповідь: 10 ч, 15 ч.

Приклад 4. Три насоса, качають воду для поливання, почали працювати одночасно. Перший і третій насоси закінчили роботу одночасно, а другий - через 2 години після початку роботи. В результаті перший насос викачав 9 м3води, а другий і третій разом 28 м3. Яка кількість води викачує за годину кожен насос, якщо відомо, що третій насос за годину викачує на 3 м3больше, ніж перший, і що три насоса, працюючи разом, викачують за годину 14 м3?

Складемо таку таблицю.

Складемо систему рівнянь згідно з умовою завдання:

З другого рівняння у = 11 - 2х, підставляючи цей вираз в перше рівняння, отримаємо рівняння

корінням якого є числа 3 і - 2,25 (не підходить за умовою завдання).

Відповідь: 3 м 3. 5 м 3. 6 м 3.

Приклад 5. У басейн проведені дві труби різного перерізу. Одна рівномірно подає, інша - рівномірно відводить воду, причому через першу басейн наповнюється на 2 години довше, ніж через другу спорожняється. При заповненому на 1/3 басейні були відкриті обидві, і басейн виявився порожнім через 8 годин. За скільки годин, діючи окремо, перша труба наповнює, а друга спорожняєте басейн.

За умовою, - =; х = 6.

Приклад 6. Якщо дві труби відкрити одночасно, то басейн наповниться за 2год 24 хв. Насправді ж спочатку була відкрита тільки перша труба на ¼ часу, необхідного другий трубі на наповнення басейну. Потім першу трубу закрили і відкрили другу трубу на 1 \ 4 часу, необхідного першої, щоб однією наповнити басейн. Після цього виявилося, що залишається наповнити ще 11/24 обсягу басейну. Скільки часу необхідно для наповнення басейну кожної трубою окремо?

Рішення. 2год 24мін = 12/5 ч. Якщо за х і у позначити час (на годину) заповнення всього об'ема1 і 2 басейнів, то отримуємо перше рівняння

Перша труба була відкрита ¼ у (ч), за цей час вона заповнила у обсягу. Друга труба була відкрита ¼ х (ч), за цей час вона заповнила х обсягу. Разом вони заповнили у + х або за умовою 1 11/24 = 13/24. друге рівняння

Вирішуючи систему, отримуємо х = 4ч, у = 6 ч або х = 6 год. у = 4 год.

Приклад 7. Два насоса перекачали 64 м3води. Вони почали працювати одночасно і з однаковою продуктивністю. Після того як перший з них перекачав 9 м3води, його зупинили на 1ч 20 хв. Після перерви продуктивність першого насоса збільшили на 1 м3 / год. Визначити первісну продуктивність насосів, якщо перший насос перекачав 33 м3води і обидва насоса закінчили роботу одночасно.