Рішення задач на оптимізацію - математика, уроки

Рішення задач на оптимізацію.

Найважливішим видом навчальної діяльності під час навчання учнів математики є рішення задач. Причому, основна увага спрямована на розвиток здатності учнів, застосовувати отримані в школі знання і вміння в життєвих ситуаціях. В даний час виявлено характерні недоліки математичної підготовки школярів. До них відносяться недостатнє засвоєння ряду тим, що мають широке практичне застосування. Саме вміння вирішувати більшість з цих практичних завдань перевіряється на ЄДІ. Як при навчанні математики сформувати ключові компетенції?

Одним із шляхів формування ключових компетентностей є використання на уроках спеціальних компетентнісно-орієнтованих завдань.

При вирішенні компетентнісно-орієнтованих завдань основна увага приділяється формуванню здібностей учнів використовувати математичні знання в різноманітних ситуаціях, що вимагають для свого вирішення різних підходів, роздумів і інтуїції.

Більшу частину своїх зусиль людина витрачає на пошук найкращого, тобто оптимального вирішення поставленого завдання. Як, маючи в своєму розпорядженні певні ресурси, домагатися найбільш високого життєвого рівня, найвищої продуктивності праці, найменших втрат, максимального прибутку, мінімальної витрати часу - так ставляться питання, над якими доводиться думати кожному члену суспільства.

Математикам вдалося розробити методи розв'язання задач на відшукання найбільшого і найменшого значення або, як їх ще називають, завдань на оптимізацію (від латинського "оптимум" - найкращий) .Багато завдання, пошуку оптимальних рішень, можуть бути вирішені тільки з використанням методів диференціального обчислення. Ряд завдань такого типу вирішується за допомогою спеціальних методів лінійного програмування, але існують і такі екстремальні завдання, які вирішуються засобами елементарної математики.

Перш ніж вирішувати будь - яку життєву задачу, людина намагається зважити наявну у нього інформацію, вибрати з неї істотну. І тільки потім, коли стане більш-менш ясно, з чого виходити і на який результат розраховувати, він приступає до вирішення завдання. Фактично це заміна вихідної життєвої завдання її моделлю. Різноманітність інформаційних аспектів у кожній такій задачі настільки велике, що буває складно з усього різноманіття інформації про досліджуваному явищі чи об'єкті вибрати найбільш суттєві. У таких випадках необхідно зробити спрощує припущення, щоб виділити вихідні дані, визначити, що буде служити результатом і який зв'язок між вихідними даними і результатом. Все це - припущення, вихідні дані, результати, зв'язку між ними - називають моделлю завдання.

Щоб отримати відповідь, потрібні вказівки, що і як робити. Такі вказівки часто представляються у вигляді алгоритму, в якому задаються математичні співвідношення, що зв'язують вихідні дані і результат. У цьому випадку говорять про побудову математичної моделі задачі.

Людині часто доводиться вирішувати завдання оптимізації в своїй діяльності, в яких потрібно за допомогою найменших витрат, сил, коштів, матеріалів отримати найкращий результат. Як з круглого колоди випиляти прямокутну балку з найменшою кількістю відходів?

Яких розмірів повинен бути ящик при заданій витраті матеріалу і щоб його обсяг був найбільшим? В якому місці слід побудувати міст через річку, щоб дорога, що проходить через нього і з'єднує два міста, була найкоротшою?

П.Л. Чебишев говорив, що "особливу важливість мають ті методи науки, які дозволяють вирішувати завдання, загальну для всієї практичної діяльності людини: як розташовувати своїми засобами для досягнення найбільшої вигоди". З такими завданнями в наш час доводиться мати справу представникам різних спеціальностей. Технологи - намагаються так організувати виробництво, щоб випускалося якомога більше продукції. Конструктори намагаються розробити прилад для космічного корабля так, щоб маса приладу була найменшою. Економісти намагаються спланувати зв'язку заводу з джерелами сировини так, щоб транспортні витрати виявилися мінімальними, і т.д. У найпростіших завданнях на оптимізацію ми маємо справу з двома величинами, одна з яких залежить від іншої, причому треба знайти таке значення другої величини, при якому перша приймає своє найменше або найбільше (найкраще в даних умовах) значення.

Завдання на оптимізацію вирішують за звичайною схемою:

• складання математичної моделі;
• робота з моделлю;
• відповідь на питання завдання.

Мета уроку при вивченні даної теми полягає в тому, щоб навчити вирішувати завдання на оптимізацію, використовуючи математичні моделі.

Учням можна запропонувати відповісти на наступні питання.

1. Чому завод «Саратовстекло» розташований поблизу залізниці?
2. Які мандарини вигідніше купувати: великі чи дрібні, якщо товщина шкірки у них однакова?
3. Яку картоплю вигідніше чистити: велику або дрібну?

Учням пропонується пам'ятка.

1. Пам'ятка щодо вирішення завдань на оптимізацію

I етап. Складання математичної моделі.

1. Проаналізувавши умови задачі, виділіть оптимизируемого величину, тобто величину, про найбільшому або найменшому значенні яку йдеться. Позначте її буквою у (або S, R, V - в залежності від змісту завдання).
2. Одну з беруть участь в задачі невідомих величин, через яку неважко виразити оптимизируемого величину, прийміть за незалежну змінну і позначте її буквою х (або будь-якої іншої буквою). Встановіть реальні межі зміни незалежної змінної відповідно до умов завдання.
3. Виходячи з умови задачі, висловіть у через х. Математична модель задачі являє собою функцію у = f (х) з областю визначення Х, яку знайшли на другому кроці.

II етап. Робота з складеної моделлю.

На цьому етапі для функції у = f (х), х Х знайдіть унаімілі унаібв залежності від того, що потрібно в умові завдання. При цьому використовуються теоретичні установки, які ми розглянули при визначенні найбільшого і найменшого значень функції.

III етап. Відповідь на питання завдання.

Тут слід отримати конкретну відповідь на питання завдання, спираючись на результати, отримані на етапі роботи з моделлю. Записати відповідь у термінах запропонованої задачі.

Розглянемо деякі приклади завдань.

Завдання 1.Какова найбільша площа прямокутної ділянки землі, який можна обгородити шматком дроту довжиною 2p?

Рішення: Перший етап. Складання математичної моделі

1. Вибираємо незалежну змінну х і висловлюємо через неї сторони прямокутника. х см - довжина прямокутника, (р-х) см - ширина прямокутника. тоді 0<х <р;
2. записуємо функцію S (x) = x · (рx) = рx - x2;

Другий етап. Робота з складеної моделлю.

знаходимо похідну S '(x) = р-2x;

вирішуємо рівняння р-2х = 0,

Отже, треба знайти найбільше значення функції при,

p-x = p- Отже, прямокутник - квадрат зі стороною і його площа дорівнює. Тобто найбільшим значенням площі прямокутника буде площа квадрата.

Третій етап. Відповідь.

Завдання 2.Прочность балки прямокутного перетину пропорційна добутку її ширини на квадрат висоти. Яке перетин повинна мати балка, витесана з циліндричного колоди радіуса R, щоб її міцність була найбільшою?

Рішення: Перший етап. Складання математичної моделі

1. Позначимо буквою у (оптимизируемого величину) - міцність балки;
2. х - ширина балки (незалежну змінну), 0
3. h2 = 4R2-x2 - висота балки (виражається по теоремі Піфагора з прямокутного трикутника);
4. міцність балки у = kxh2 (де коефіцієнт k - деяке позитивне число) означає, у = kx (4R2 - x2), де х [0; 2R].

Другий етап. Робота з складеної моделлю.

Знаходимо унаіб. Для цього скористаємося алгоритмом знаходження найбільшого значення функції на відрізку, повторенням на початку уроку.

Завдання 3.Із круглого колоди радіусаRвипіліть прямокутну балку так, щоб кількість відходів було найменшим.

Завдання можна звести до наступного: в коло радіуса R вписати прямокутник найбільшої площі.

Рішення: Перший етап. Складання математичної моделі

1. Вибираємо незалежну змінну х і висловлюємо через неї сторони прямокутника. х см - довжина прямокутника, 0 <х <2R ; см – ширина прямоугольника.;
2. Записуємо функцію S (x) = x. виражає площу прямокутника.

Другий етап. Робота з складеної моделлю.

Знаходимо максимальне значення функції S (x) = x на відрізку [0; 2R].

Вирішуємо рівняння S '(x) = 0, - = 0, 4 = 0, звідки х = R (значення х = - R не задовольняє умові завдання).

Обчислюємо значення функції S (x) = x при х = R і на кінцях відрізка [0; 2R]. Оскільки S (0) = S (2R) = 0, а S (R) = 2. то функція приймає найбільше значення при х = R. Оскільки найбільше значення функції

S (x) = x на відрізку [0; 2R] досягається у внутрішній точці відрізка, то найбільше її значення на інтервалі (0; 2R).

Також досягається в точці х = R. При цьому довжина іншого боку прямокутника дорівнює = R, тобто шуканим прямокутником служить квадрат. Найбільше значення функції S (x) = 2

Таким чином, кількість відходів буде найменшим, якщо в перерізі балки буде квадрат.

Третій етап.Ответ. Кількість відходів буде найменшим, якщо в перерізі балки буде квадрат зі стороною R.

Задачу 3 можна вирішити і без використання похідної.

З нерівності Коші про повну загальну середню арифметичному і середньому геометричному для довільних позитивних чисел,

≥ випливають два важливих твердження.

1. Якщо сума довільних позитивних чисел, дорівнює S, то їх твір Р = досягає найбільшого значення, рівного за однакової кількості всіх чисел.
2. Якщо твір довільних позитивних чисел, так само Р, то їх сума S = приймає найменше значення, рівне n, за однакової кількості всіх чисел.

Рішення: Якщо х і у - сторони прямокутника, S- площа прямокутника, то

S = ху. Оскільки прямокутник вписаний в коло, то + = 4. Отже,

S = х. Зауважимо, що Sбудет досягати максимального значення тоді, коли буде найбільшим = (). Але сума множників і

постійна і дорівнює 4, отже, найбільше значення їх твори одно, а найбільше значеніеSравно 2, причому воно досягається, якщо

=, Тобто х = R, але тоді у = R.

Відповідь. Кількість відходів буде найменшим, якщо в перерізі балки буде квадрат зі стороною R.

Розглянемо ще один спосіб вирішення завдання 3.

Рішення: Нехай величина кута між діагоналями прямокутника дорівнює. Тоді площа прямокутника дорівнює половині твори довжин діагоналей на синус кута між ними, тобто S (=? 2R? 2R = 2.

Очевидно, що найбільше значення функції S (2 досягається, якщо

= 1, тобто =. Значить, прямокутник є квадратом зі стороною R.

Відповідь. Кількість відходів буде найменшим, якщо в перерізі балки буде квадрат зі стороною R.

В даний час отримало загальне визнання те, що успіх розвитку багатьох галузей науки і техніки суттєво залежить від розвитку багатьох напрямків математики. Математика стає засобом вирішення проблем організації виробництва, пошуків оптимальних рішень і, в кінцевому рахунку, сприяє підвищенню продуктивності праці і сталого поступального розвитку народного господарства.

Використання екстремальних задач при вивченні математики виправдане тим, що вони з достатньою повнотою закладають розуміння того, як людина шукає, постійно домагається вирішення життєвих завдань, щоб отримувані результати його діяльності були якомога краще. Вирішуючи завдання зазначеного типу, спостерігаємо, з одного боку, абстрактний характер математичних понять, а з іншого - велику ефективну їх застосовність до вирішення життєвих практичних завдань.

Екстремальні задачі допомагають ознайомитися з деякими ідеями і прикладними методами шкільного курсу математики, які часто застосовуються в трудовій діяльності, в пізнанні навколишньої дійсності.

Возняк Г. М. Гусєв В. А. Прикладні завдання на екстремуми. М. Просвітництво, 1985.

Рішення задач на оптимізацію

ГБОУ «СКШ №2» Марченкова Л.І.

Пам'ятка щодо вирішення завдань на оптимізацію

I етап. Складання математичної моделі.

Проаналізувавши умови задачі, виділіть оптимизируемого величину, тобто величину, про найбільшому або найменшому значенні яку йдеться. Позначте її буквою у (або S, R, V - в залежності від змісту завдання).

Одну з беруть участь в задачі невідомих величин, через яку неважко виразити оптимизируемого величину, прийміть за незалежну змінну і позначте її буквою х (або будь-якої іншої буквою). Встановіть реальні межі зміни незалежної змінної відповідно до умов завдання.

Виходячи з умови задачі, висловіть у через х. Математична модель задачі являє собою функцію у = f (х) з областю визначення Х, яку знайшли на другому кроці.

II етап.Работа з складеної моделлю.

На цьому етапі для функції у = f (х), х € Х знайдіть у найм або в наиб в залежності від того, що потрібно в умові завдання. При цьому використовуються теоретичні установки, які ми розглянули при визначенні найбільшого і найменшого значень функції.

III етап.Ответ на питання завдання.

Тут слід отримати конкретну відповідь на питання завдання, спираючись на результати, отримані на етапі роботи з моделлю. Записати відповідь у термінах запропонованої задачі.

Завдання 1.Какова найбільша площа прямокутної ділянки землі, який можна обгородити шматком дроту дліной2p?

Завдання 2.Прочность балки прямокутного перетину пропорційна добутку її ширини на квадрат висоти. Яке перетин повинна мати балка, витесана з циліндричного колоди радіуса R, щоб її міцність була найбільшою?

Завдання 3.Із круглого колоди радіуса R випиляти прямокутну балку так, щоб кількість відходів було найменшим. (I спосіб)

Завдання 3.Із круглого колоди радіуса R випиляти прямокутну балку так, щоб кількість відходів було найменшим. (II спосіб)

Завдання 3.Із круглого колоди радіуса R випиляти прямокутну балку так, щоб кількість відходів було найменшим. (III спосіб)