Подільність цілих чисел - студопедія

Визначення та властивості подільності.

Ціле число а ділиться на ціле число b ≠ 0, якщо існує таке ціле число с, що а = bс.

Якщо а ділиться на b. то kа ділиться на b.

Якщо цілі числа а і b діляться на ціле число m, то сума а + b і різниця а- b діляться на m.

Якщо а ділиться на k. b ділиться на n. то твір аb ділиться на твір kn.

Завдання для самостійного рішення

1. Число а кратно 5. Доведіть, що число 3а кратно 15.

2. Числа а і b діляться на с. Доведіть, що число а - b ділиться

3. Число а кратно 4, число b кратно 7. Доведіть, що число

4. Число а кратно 3. Доведіть, що число 2а 2 + 6а ділиться на 18.

5. Число а кратно 2, число b кратно 9. Доведіть, що число

9а + 2b кратно 18.

6.Чісло а кратно 4, число b кратно 8. Доведіть, що число

а 2 - 2b кратно 16.

7. Доведіть, що сума двозначного числа, записаного тими ж цифрами в зворотному порядку, ділиться на 11.

8. Доведіть, що різниця двозначного числа і числа, записаного тими ж цифрами в зворотному порядку, ділиться на 9.

9. Доведіть, що різниця квадрата цілого числа і самого числа є парне число.

10. Доведіть, що число виду аb (a - b). де а і b - цілі числа, парне.

11. Доведіть, що 1 3 +2 3 + ... + 59 3 ділиться на 60.

12. Доведіть, що 1 3 +2 3 + ... + 49 3 не ділиться на 50.

Теорема про розподіл із залишком

Для будь-якого цілого числа а і натурального числа b. суще-

ствует єдина пара чисел q і r таких що а = bq + r. де q - ціле, r - натуральне або нуль, причому r може приймати лише b різних значень 0; 1; 2; ...; b - 1.

Якщо залишок r дорівнює нулю, то число а ділиться на b.

Завдання для самостійного рішення

1. Число а при діленні на 8 дає залишок 6. Чому дорівнює залишок

від ділення числа а на 4?

Відповідь: 2 Вказівка. Записати дане число у вигляді

2. Число b при діленні на 10 дає залишок 7. Чому дорівнює залишок від ділення числа b на 2?

3. Напишіть загальний вигляд чисел кратних 4 і дають при діленні на 3 залишок 2.

4. Число а при діленні на 5 дає залишок 3. Чому дорівнює залишок від ділення на 5 числа а 2 - 3а?

5. Знайдіть всі числа, які при діленні на 3 дають залишок 2, а при діленні на 4 дають залишок 3.

6. Знайдіть всі числа, які при діленні на 5 дають залишок 1, а при діленні на 4 дають залишок 2.

7. Доведіть, що якщо число а не кратно 3, то а 2 - 1 ділиться на 3.

8.Существует таке ціле число, яке при діленні на 10 дає в залишку 3, а при діленні на 15 дає в залишку 7?

9. Чи існує таке ціле число, яке при діленні на 24 дає в залишку 10, а при діленні на 16 дає в залишку 3?

10. Доведіть, що число n 3 - n кратно 6 при будь-якому

11. Доведіть, що число n 3 - n кратно 24 при непарному n.

12. Відомо, а 2 + b 2 ділиться на 7. Доведіть, що а 2 + b 2 ділиться на 49.

13. Відомо, а 2 + b 2 ділиться на 3. Доведіть, що а кратно 3 і