Рішення комбінаторних задач різними способами (завдання 3)
Продовжуємо публікацію комбінаторних задач, рішення яких розглянемо різними способами.
Пропонуємо наступну задачу, в якій застосовуються і основні правила комбінаторики. і принципи вибору формули за схемою. наведеної раніше.
У шаховому клубі 5 хлопчиків і 3 дівчинки. Для зустрічі з гросмейстером прийшло три запрошення. Скількома способами можна розподілити запрошення так, щоб на зустріч потрапила хоча б одна дівчинка?
Фраза «Хоча б одна дівчинка» означає, що їх може бути одна. або дві, або три.
Тоді питання завдання можна переформулювати так: «Скількома способами можна вибрати трьох осіб з 5 хлопчиків і 3 дівчаток, щоб серед них була або 1 дівчинка, або 2 дівчинки, або 3 дівчинки?»
1) Одну дівчинку з трьох можна вибрати трьома способами. І залишається вибрати ще двох хлопчиків з п'яти. Це можна зробити С5 2 способами.
Тобто, всього 3 * С5 2 способів.
2) Дві дівчинки з трьох можна вибрати С3 2 способами і одного хлопчика - п'ятьма способами. Всього 5 * С3 2 способів.
3) Три дівчинки можна вибрати тільки одним способом.
Тоді загальна кількість способів буде: 3 * С5 2 + 5 * С3 2 + 1 = 46.
Трьох осіб з усіх членів гуртка можна вибрати С8 3 способами, так як за все дітей 5 + 3 = 8, а запрошень 3.
Тільки трьох хлопчиків можна вибрати С5 3 способами. У всіх інших випадках будуть присутні дівчинки.
Значить, таких способів буде: С8 3 - С5 3 = 56 - 10 = 46.
Відповідь: 46 способів.
(Продовження следует- завдання №4 в наступній статті)