Реферат геометричні властивості кривих другого порядку - банк рефератів, творів, доповідей,

Мета курсової роботи

Дослідити і вивчити геометричні властивості кривих другого порядки (еліпса, гіперболи і параболи), що представляють собою лінії перетину кругового конуса з площинами, не проходять через його вершини, а також навчитися будувати графіки даних кривих в канонічній і прямокутної декартової системах координат.

Дано рівняння кривої другого порядку:

Завдання. Для даного рівняння кривої другого порядку з параметром:

I. Визначити залежність типу кривої від параметра за допомогою інваріантів.

II. Привести рівняння кривої при до канонічного виду, застосовуючи перетворення паралельного переносу і повороту координатних осей.

III. Знайти фокуси, директриси, ексцентриситет і асимптоти (якщо вони є) даної кривої другого порядку.

IV. Отримати рівняння канонічних осей в загальній системі координат.

V. Побудувати графік кривої в канонічній і загальної системах координат.

Отримання канонічної системи координат. побудова графіків

I. Тип кривої другого порядку в залежності від параметра

У прямокутній декартовій системі координат крива другого порядку задається в загальному вигляді рівнянням:

якщо хоча б один з коефіцієнтів,, відмінний від нуля.

Для рівняння кривої другого порядку (1) маємо:

Тепер визначимо тип даної нам кривої (1) за допомогою інваріантів. Інваріанти кривої другого порядку обчислюються за формулами:

Для даної кривої вони рівні:

1). Якщо, то рівняння кривої (1) визначає криву параболічного типу, але. Таким чином, якщо, то рівняння (1) визначає криву параболічного типу. При цьому, тобто: якщо, то рівняння (1) визначає параболу.

2). Якщо, то дана крива - центральна. Отже, при дана крива - центральна.

Якщо, то рівняння (1) визначає криву еліптичного типу. Отже, якщо, то дана крива є крива еліптичного типу. Але при цьому . Відповідно до ознак кривих другого порядку отримаємо: якщо, то рівняння (1) визначає еліпс.

Якщо, то рівняння (1) визначає криву гіперболічного типу. Отже, якщо, то рівняння (1) визначає криву гіперболічного типу.

а) Якщо і, то рівняння (1) визначає дві пересічні прямі. отримаємо:

Отже, якщо, то рівняння (1) визначає дві пересічні прямі.

б) Якщо і, то дана крива - гіпербола. Але при всіх за винятком точки. Отже, якщо, то рівняння (1) визначає гіперболу.

Використовуючи отримані результати, побудуємо таблицю:

значення параметраβ

II. Перехід від загального рівняння кривої до канонічного

Розглянемо тепер випадок, коли, і досліджуємо це рівняння кривої другого порядку за допомогою інваріантів. З вищенаведеної таблиці бачимо, що при рівняння (1) визначає гіперболу і набуває вигляду:

Наведемо рівняння кривої (2.1) до канонічного вигляду, застосовуючи перетворення паралельного переносу і повороту координатних осей.

Ми встановили, що дана крива - центральна, тому використовуємо методику приведення до канонічного виду для рівняння центральної кривої. Зробимо паралельний перенесення початку координат в точку. При цьому координати довільної точки площини в системі координат і координати в новій системі координат зв'язані співвідношеннями

Підставляючи ці вирази в рівняння (2.1), отримаємо:

Розкриваючи дужки і приводячи подібні члени, отримаємо:

У рівнянні (2.3) коефіцієнти при прирівняємо до нуля. Отримаємо систему рівнянь щодо

Вирішивши систему (2.4), отримаємо:

Центр кривої має координати,. Поставимо знайдені значення в рівняння (2.3). У новій системі координат в рівнянні (2.3) коефіцієнти при дорівнюють нулю і рівняння набуде вигляду

Так як, то подальше спрощення рівняння (2.5) ми досягаємо за допомогою повороту осей координат на кут. При повороті осей координат на кут координати довільної точки площини в системі координат і координати в новій системі координат зв'язані співвідношеннями

Підставляючи (2.6) в рівняння (2.5), отримаємо

Розкриємо дужки і наведемо подібні члени

Наводячи подібні члени, отримаємо рівняння

Тепер виберемо такий кут, що в рівнянні (2.7) коефіцієнт при творі дорівнює нулю. Отримаємо рівняння щодо синуса і косинуса кута:

Розділимо праву і ліву частини даного рівняння почленно на. Ми можемо це зробити, так як, тому що якщо (тобто), то при підстановці в рівняння (2.8) отримаємо, що і, що суперечить основному тригонометричного тотожності. отримаємо рівняння

Вирішуючи рівняння (2.9), отримаємо

Знаючи значення тангенса, можна обчислити значення синуса і косинуса за такими формулами:,. Підставляючи відповідні значення тангенса, отримуємо:

Візьмемо для визначеності. Тоді відповідні значення синуса і косинуса є

Підставляючи (2.10) в рівняння (2.7), отримуємо: