равноточних вимірювань

Головна | Про нас | Зворотній зв'язок

Вимірювання називаються рівноточними, якщо вони проведені однаковими по точності методами, або одним і тим же методом в однакових умовах. В результаті n вимірювань деякої фізичної величини x. справжнє значення якої X0 = mx (якщо немає систематичних похибок) невідомо, через наявність випадкових похибок виходить ряд чисельних значень x1; x2. .... xn, які в загальному випадку відрізняються один від одного і від X0.

При обробці результатів цих вимірювань виникають два завдання:

1. Знаходження за результатами окремих вимірів найкращої оцінки істинного значення, тобто значення, найбільш близького до істинного;

2. Визначення похибки отриманої оцінки.

Для великого числа практичних випадків, коли грубі похибки (промахи) зустрічаються рідко, а випадкові похибки розподілені по нормальному закону, найкращою оцінкою вимірюваної величини є середнє арифметичне окремих результатів вимірювання:

Окремі результати вимірювань є випадковими величинами, оскільки містять випадкові похибки # 8710; Хi:

Середнє арифметичне також є випадковою величиною, як функція випадкових величин. Тому абсолютна похибка середнього арифметичного, рівна:

також буде випадковою.

Це говорить про те, що справжнє значення абсолютної похибки знайти неможливо. можна лише тим чи іншим способом приблизно оцінити її значення. Наприклад, можна вважати, що з певною ймовірністю значення абсолютної похибки по абсолютній величині буде менше деякої заданої величини. тобто

Звідси випливає, що істинне значення вимірюваної величини з ймовірністю накривається інтервалом. тобто

Інтервал називається довірчим, а ймовірність - довірчою ймовірністю. Очевидно, чим більше - ширина довірчого інтервалу, тим з більшою ймовірністю довірчий інтервал містить в собі Х0.

Таким чином, для характеристики випадкової похибки необхідно знати два числа, а саме - величину оцінки абсолютної похибки. яку часто називають просто абсолютною похибкою, і величину довірчої ймовірності.

Як ширини довірчого інтервалу можна взяти - середньоквадратичне похибка. Для окремого виміру вона дорівнює:

Середнє арифметичне має менше розсіювання і відповідно його середньоквадратична похибка буде менше в раз.

У фізичних, біологічних, медичних, фізіологічних та ін. Вимірах зазвичай користуються значеннями довірчої ймовірності = 0,9; = 0,95; = 0,99. При заданій довірчій ймовірності ширину довірчого інтервалу (оцінка похибки) зручно знаходити у вигляді часток. т.е .:

де - коефіцієнт, що залежить від величини довірчий ймовірності і від обсягу вибірки n. При знаходиться по таблиці Стьюдента, при n> 30 він дуже мало відрізняється від таблиці нормального розподілу і в цьому випадку може бути знайдений по тій же таблиці при n = ∞.

Якщо взяти величину абсолютної похибки. то ймовірність того, що довірчий інтервал містить Х0 буде дорівнює = 0,997. Це дуже велика ймовірність і тому говорять, що з практичної упевненістю можна стверджувати, що відхилення від Х0 більше ніж на неможливо. Це правило відомо під назвою "правила трьох сигм".

Поряд зі середньоквадратичної похибкою для оцінки випадкової похибки користуються і середньоарифметичної похибкою r. обчисленої за формулою:

Всі наведені вище результати теорії випадкових похибок застосовні для характеристики точності вимірювання лише в разі, якщо вимір багаторазово повторено.

Послідовність дій при оцінці істинного значення вимірюваної величини і оцінки випадкової похибки наступна:

1. знаходиться середнє арифметичне за результатами вимірювань:

2. знаходиться середньоквадратичне похибка окремого результату вимірювання:

3. знаходиться максимальна абсолютна похибка окремого вимірювання:

4. перевіряється, чи всі результати вимірювань укладаються в інтервал. якщо так, то переходимо до наступного пункту, якщо немає, то таке значення отбрасиватся (тим самим ми позбавляємося від промахів) і обчислення слід почати спочатку.

5. знаходиться середньоквадратичне похибка середнього арифметичного:

6. знаходиться з таблиці коефіцієнт по заданих і п і визначається оцінка абсолютної похибки:

7. записується результат виміру:

при заданому. Це означає, що із заданою довірчою ймовірністю довірчий інтервал накриває. тобто .

8. якщо необхідно, то знаходиться відносна похибка, при цьому, оскільки Х0 невідомо, наближено його замінюють на: