Ранг матриці »лінійна алгебра

п.4. Ранг матриці.

Нехай А - довільна матриця розмірів над полем К і нехай натуральне число k таке, що воно не перевищує ні числа рядків матриці А, ні числа її стовпців, тобто .

Визначення. Мінором - го порядку матриці А називають визначник матриці - го порядку, яка виходить з матриці А викреслюванням усіх рядків і стовпців, крім зазначених довільним чином рядків і стовпців.

Приклад. . Відзначимо 1-й і 4-й стовпці і перші два рядки, а решта (2-й і 3-й стовпець і 3-ю рядок) викреслимо: - мінор другого порядку матриці А.

Або викреслимо будь стовпець матриці А, наприклад третій:

- мінор третього порядку матриці А.

Ясно, що мінор першого порядку є будь-який її елемент, а миноров четвертого порядку не існує, миноров третього порядку існує рівно чотири, а миноров другого порядку рівно 18 штук.

Визначення. Рангом ненульовий матриці називається максимальний порядок її ненульового мінору.

Ранг нульової матриці за визначенням вважають рівним нулю.

Зауваження. З визначення випливає, що ранг ненульовий матриці є натуральне число, яке не перевищує ні числа рядків, ні числа стовпців. Так в прикладі вище ранг матриці А може бути дорівнює 1 або 2 або 3. Так як мінор другого порядку, то ранг матриці дорівнює 2, якщо всі 4 її мінору третього порядку дорівнюють 0, і дорівнює 3, якщо серед її мінорів третього порядку знайдеться хоча б один ненульовий.

Нехай А - довільна матриця розмірів над полем K. Тоді її рядки мають довжину n і можуть розглядатися як вектори арифметичного векторного простору рядків довжини n:.

Стовпці матриці А мають висоту m і можуть розглядатися як вектори арифметичного векторного простору стовпців висоти m:.

Позначимо - систему рядків матриці А, - систему її стовпців. Тоді для всіх і для всіх. Ці системи, як і будь-які системи векторів векторного простору мають свій ранг.

Теорема. (Про ранзі матриці.) Ранг матриці дорівнює рангу системи її рядків і дорівнює рангу системи її стовпців.

Інакше, в наших позначеннях:.

Для доведення цієї теореми нам будуть потрібні дві леми:

Лемма 1. Нехай А - квадратна матриця - го порядку над полем K. Наступні твердження рівносильні:

1) система рядків матриці А - лінійно залежна;

2) система стовпців матриці А - лінійно залежна;

3) визначник матриці А дорівнює нулю.

Доведення. . Це випливає з властивостей визначника і вже доведено.

. Нехай. Нам потрібно довести, що система стовпців матриці А є лінійно залежною.

Припустимо противне. Нехай система стовпців - лінійно незалежна. Так як А - квадратна матриця, то все її стовпці мають висоту n, тобто є векторами простору, розмірність якого дорівнює n. Отже, система є базисом простору.

Знайдемо матрицю переходу від канонічного базису до базису зі стовпців матриці А. Для цього розкладемо вектори базису з канонічного базису. У матричної формі ці розкладання матимуть вигляд:

, де С - матриця переходу. Але остання рівність є рівність:, де Е - одинична матриця, звідки випливає, що. Так як матриця переходу є невироджених, тобто , То це означає, що, що суперечить умові. Отже, наше припущення про лінійну незалежності системи стовпців матриці А є невірним, ч.т.д.

. З доведеного випливає, що система рядків матриці А є лінійно залежною тоді і тільки тоді, коли, тому що рядки матриці А є стовпцями транспонованою матриці. Так як, то все доведено.

Слідство. Нехай А - квадратна матриця - го порядку над полем К. Наступні твердження рівносильні:

1) система рядків матриці А - лінійно незалежна;

2) система стовпців матриці А - лінійно незалежна;

3) визначник матриці А не дорівнює нулю.

Лемма 2. Нехай - підпростір простору V над полем K і. Тоді існує ненульова лінійна форма, така, що, тобто ,.

Доведення. Нехай - базис підпростору L. Доповнимо його до базису простору V:. Визначимо на V лінійну форму за допомогою рівності

Як ми вже бачили вище, це відображення є лінійна форма, причому ненульова, тобто наприклад,

Нехай - довільний вектор підпростору L. Розкладемо його по базису V:

, звідки випливає, що, ч.т.д.