Прості і складові висловлювання

Є два види висловлювань: 1) прості і 2) складові. або складні.

Під простим висловлюванням будемо розуміти такий вислів, яке не може бути розбите на більш прості висловлювання. Висловлювання А і В попереднього прикладу - прості висловлювання.

Про просте висловлювання завжди однозначно можна сказати, що воно істинно або хибно, не цікавлячись його структурою.

З простих висловлювань за допомогою так званих логічних зв'язок або логічних операцій. наприклад, спілок «і», «або», слів «якщо ..., то ...», «тоді і тільки тоді, коли ...», можна будувати складні висловлювання.

Наприклад, з висловлювань; . використовуючи логічні операції, можна утворити такі складні висловлювання:

Відзначимо, що складні висловлювання можна утворювати і з таких висловлювань, які не пов'язані між собою за змістом. Наприклад, висловлювання:

складено за допомогою логічної операції «якщо ..., то ...» з двох висловлювань, між якими немає ніякого смислового зв'язку.

Складні висловлювання, як і прості, завжди або тільки істинні, або тільки помилкові. Істинність або хибність складного висловлювання повністю визначається, по-перше, тим, які логічні зв'язки (операції) використані для утворення складного висловлювання. По-друге, істинність або хибність складного висловлювання залежить від того, які з простих висловлювань, що утворюють складне висловлювання, істинні, а які - хибні.

Операції над висловлюваннями - логічні операції - зазвичай задають у вигляді таблиць, які називаються таблицями істинності.

Операція заперечення. або заперечення висловлювання

Для кожного висловлювання А може бути сформовано новий висловлювання (читається «Не А», або «не вірно, що А») - це заперечення висловлювання А. Висловлювання істинно, коли А - помилково, і помилково, коли А - істинно.

Таблиця істинності для операції заперечення:

Нехай, наприклад,. . Тоді висловлювання С - істинно, т. К. Істинно кожне з висловлювань А і В. складових висловлювання С.

Операцію кон'юнкції можна визначити і для декількох висловлювань, як в'язку висловлювань, об'єднаних союзом «і». Кон'юнкція з n висловлювань - нове висловлювання, причому висловлювання

має значення «істина», якщо і А1. і А2. і ... Аn одночасно істинними. У всіх інших випадках ця кон'юнкція має значення «брехня».

А2 Ù А3 Ù А4і (батько старше сина) і (Мурманськ на північ від Дружковкаа)> - помилкове, в той час як вислів

Операція диз'юнкції. або диз'юнкція висловлювань

Висловлювання С. складене з двох висловлювань А. В за допомогою союзу «або», називають диз'юнкцією (логічної сумою) цих висловлювань: (вираз Новомосковскется: «А чи В»).

Сума є істинним висловлюванням тоді, коли, по крайней мере, одна з складових істинно.

Таблиця істинності для операції диз'юнкції:

Нехай, наприклад,. . Тоді висловлювання або - істинно, тому що істинно кожне з висловлювань А і В. складових висловлювання С.

Операцію диз'юнкції можна визначити і для декількох висловлювань як зв'язку висловлювань, об'єднаних союзом «або»:

В цьому випадку вислів А істинно, якщо істинно хоча б одне з висловлювань, що входять в зв'язку.

Операція еквівалентності. або еквівалентність висловлювань.

Висловлювання С. складене з двох висловлювань А і В за допомогою слів «тоді і тільки тоді, коли ...», називають еквівалентністю висловлювань А і В..

Для еквівалентності використовують знак (або

Еквівалентність є справжнє висловлювання, коли: «висловлювання і А. і В - обидва істинними чи обидва хибні».

Таблиця істинності для операції еквівалентності:

Перший член імплікації. - висловлювання А. - називається посилкою. або умовою. а другий член В - висновком.

Зверніть увагу, що таблиця істинності для імплікації, на відміну від таблиць для кон'юнкції, диз'юнкції і еквівалентності, змінюється при перестановці стовпців для А і В.

Відзначимо також, що імплікація в повному обсязі відповідає звичайному розумінню слів «якщо ..., то ...» і «слід». З третьої і четвертої рядків таблиці істинності для імплікації випливає, що якщо А - помилково, то, яке б не було В. висловлювання вважається дійсним. Таким чином, з невірного твердження випливає (може слідувати) все, що завгодно.

Наприклад, твердження «якщо 6 - просте число, то», або твердження «якщо. то існують відьми »є істинними логічними твердженнями. Справжнім є і розглянуте раніше вислів: «якщо слон - комаха, то Антарктида покрита тропічними лісами».

Як говорив Р. Декарт: «Якщо 2 х 2 = 5, то я доведу, що з труби вилітає відьма».

Для ілюстрації змістовного сенсу імплікації розглянемо ще один приклад.

Імплікація може бути сформульована так:

«Якщо тато завтра отримає премію, то купить синові велосипед».

Нехай А і В - істинні. Тоді тато, отримавши премію, купує синові велосипед. Природно вважати це справжнім висловом.

Якщо ж тато, отримавши премію (А - істинно), не купить синові велосипед (В - помилково), то це, можна сказати, - нелогічний вчинок, і імплікація має значення «брехня».

Якщо тато не отримає премію (А - помилково), але купить велосипед (В - істинно), то результат позитивний (імплікація істинна).

Нарешті, в тому випадку, якщо, не отримавши премії (А - помилково), тато не купить велосипед (В - помилково), то обіцянку не порушено, імплікація істинна.

Завдання 1. Дано два висловлювання і. У чому полягають висловлювання. . . . Які з цих висловлювань істинні і які помилкові?

1) Висловлення. очевидно, помилково. Для того щоб твір двох висловлювань було істинним, потрібно щоб обидва висловлювання були справжніми.

2) Висловлювання істинно, тому що одна з складових є істинним висловлюванням.

Висловлення можна записати у вигляді одного вірного несуворого нерівності.

3) Еквівалентність (тоді і тільки тоді, коли) являє собою помилкове висловлювання, тому що А - помилково, а В - істинно.

4) Імплікація то є істинним висловлюванням.

Справді, імплікація згідно з визначенням помилкова тільки тоді, коли А - істинно, а В - хибне. # 61623;