проекція Меркатора

Карта світу Меркатора 1569 року

Рівнокутна циліндрична проекція Меркатора - одна з основних картографічних проекцій. Розроблено Герард Меркатор для застосування в його «Атласі». «Рівнокутна» в назві проекції підкреслює те, що проекція зберігає кути між напрямками. Все локсодроми в ній зображуються прямими лініями. Меридіани в проекції Меркатора представляються паралельними рівновіддаленими лініями. Паралелі ж являють собою паралельні лінії, відстань між якими поблизу екватора дорівнює відстані між меридіанами і швидко збільшується при наближенні до полюсів. Самі полюси не можуть бути зображені на проекції Меркатора (це обумовлено особливостями функції, що відображає координати на сфері на координати на площині), тому зазвичай карту в проекції Меркатора обмежують областями до 80-85 ° північної і південної широти.

Масштаб на карті в цій проекції не є постійним, він збільшується від екватора до полюсів (як зворотний косинус широти), однак масштаби по вертикалі і по горизонталі завжди рівні, ніж, власне, і досягається Рівнокутні проекції. На картах в даній проекції завжди вказується, до якої паралелі відноситься основний масштаб карти.

Спотворення площ в проекції Меркатора

Оскільки проекція Меркатора має різний масштаб на різних ділянках, ця проекція не зберігається площі. Якщо основний масштаб відноситься до екватора, то найбільші спотворення розмірів об'єктів будуть у полюсів. Це добре помітно на картах в цій проекції: на них Гренландія здається в 2-3 рази більше Австралії і її можна порівняти за розмірами з Південною Америкою. В реальності Гренландія втричі менше Австралії і в 8 разів менше Південної Америки.

Проекція Меркатора виявилася дуже зручною для потреб мореплавства, особливо в старі часи. Пояснюється це тим, що траєкторія руху корабля, що йде під одним і тим же румбом до меридіану (тобто з незмінним становищем стрілки компаса щодо шкали) зображується прямою лінією на карті в проекції Меркатора.

Математичне вираження проекції Меркатора

Карта світу в проекції Меркатора з координатними лініями, проведеними через 20 °.

Для початку розглянемо найпростіший варіант проекції Меркатора: проекцію сфери на циліндр. Цей варіант не враховує сплюснутости Землі біля полюсів. Циліндричний проекції відразу дає нам вираз для горизонтальної координати на карті: вона просто пропорційна довготі точки # X03BB; (При використанні в розрахунках слід врахувати, що виражатися ця величина повинна в радіанах)

Умова Рівнокутні - це просто рівність масштабів по горизонтальній і вертикальної осі. Оскільки масштаб по осі X на широті # X03B8; дорівнює просто c / (R cos # X2061; # X03B8; ) (R - радіус Землі), то з умови d y R cos # X2061; # X03B8; / C = R d # X03B8; ми отримуємо вираз для залежності y від # X03B8;

Тепер неважко отримати вирази для рівнокутної проекції з урахуванням еліпсоїдальної форми Землі. Для цього треба записати метричну форму для еліпсоїда (a - велика піввісь, b - менша) в географічних координатах

перейти в ній до координат x і y і прирівняти масштаби по осях. Після інтегрування одержуємо

x = c ( # X03BB; # X2212; # X03BB; 0) y = c [a t h sin # X2061; # X03B8; # X2212; # X03B5; a t h ( # X03B5; sin # X2061; # X03B8; )]. x = c (\ lambda - \ lambda _) \\ y = c [>> \ sin \ theta - \ varepsilon >> (\ varepsilon \ sin \ theta)]. \ end >>

тут # X03B5; = A 2 # X2212; b 2 / a -b ^ >> / a> - ексцентриситет земного еліпсоїда. Зворотне перетворення виявляється у елементарних функціях, але рівняння для зворотного перетворення легко вирішити методом теорії збурень по малому # X03F5; .

Ітераційна формула для зворотного перетворення має такий вигляд:

# X03B8; n + 1 = f ( # X03B8; n. y) = f \ left (\ theta _, y \ right)>. де # X03B8; 0> можна взяти рівним 0 або наближенню, розрахованим за формулою для сфероида. # X03B8; n + 1 = a r c s i n (1 # X2212; (1 + sin # X2061; # X03B8; n) (1 # X2212; # X03B5; sin # X2061; # X03B8; n) # X03B5; e 2 y c (1 + # X03B5; sin # X2061; # X03B8; n) # X03B5; ) = Arcsin \ left (1 -) (1 \ varepsilon \ sin \ theta _) ^ >> (1+ \ varepsilon \ sin \ theta _) ^ >> \ right)>