Приватні похідні, все формули і приклади
Нехай задана функція Надамо однієї з незалежних змінних, наприклад приріст
Приватним збільшенням функції називається різниця
Відповідно приватні збільшення по змінним і:
Складемо ставлення Якщо при прагненні до нуля зазначене співвідношення прагне до певної межі, то ця межа називається приватної похідною по змінної і позначається:
Аналогічно визначаються приватні похідні заданої функції по змінним і Приватна похідна по змінній
а по змінної
Приватні похідні декількох змінних
Обчислення приватних похідних функції декількох незалежних змінних проводиться за тими ж правилами, що і для похідних функції однієї змінної. При цьому потрібно мати на увазі, що при знаходженні похідної по одній із змінних всі інші змінні вважаються константами.
Якщо продифференцировать, наприклад, першу приватну похідну заданої функції по змінній ще раз по цій змінній, то отримаємо приватну похідну другого порядку, взяту два рази по тобто похідну
Аналогічно отримуємо ще дві другі похідні по змінним і
Якщо ж продифференцировать по змінної першу похідну взяту по змінної то отримаємо змішану похідну
Аналогічно вводяться і інші змішані похідні:
Відомий той факт, що значення змішаної похідної не залежить від порядку диференціювання, тобто