Принцип можливих переміщень

Принцип можливих переміщень. для рівноваги механічної системи з ідеальними зв'язками необхідно і достатньо, щоб сума елементарних робіт всіх діючих на неї активних сил при будь-якому можливому переміщенні дорівнювала нулю. або в проекціях:.

Принцип можливих переміщень дає в загальній формі умови рівноваги для будь-якої механічної системи, дає загальний метод вирішення завдань статики.

Якщо система має кілька ступенів свободи, то рівняння принципу можливих переміщень становлять для кожного з незалежного переміщень окремо, тобто буде стільки рівнянь, скільки система має ступенів свободи.

Принцип можливих переміщень зручний тим, що при розгляді системи з ідеальними зв'язками їх реакції не враховуються і необхідно оперувати тільки активними силами.

Принцип можливих переміщень формулюється так:

Для того, щоб матер. система, підпорядкована ідеальним зв'язків перебувала в стані спокою, необхідно і достатньо, щоб сума елементарних робіт, вироблених активними силами на можливих переміщеннях точок системи була позитивна

Загальне рівняння динаміки - при русі системи з ідеальними зв'язками в кожен даний момент часів сума елементарних робіт всіх прикладених активних сил і всіх сил інерції на будь-якому можливому переміщенні системи буде дорівнює нулю. Рівняння використовує принцип можливих переміщень і принцип Даламбера і дозволяє скласти диференціальні рівняння руху будь-механічної системи. Дає загальний метод вирішення завдань динаміки.

а) до кожного тіла прикладають діючі на нього задаються сили, а також умовно прикладають сили і моменти пар сил інерції;

б) повідомляють системі можливі переміщення;

в) складають рівняння принципу можливих переміщень, вважаючи систему знаходиться в рівновазі.

Робота на можливе переміщення як активних, так і сил інерції. шукається також як і елементарна робота на дійсному переміщенні:

Можлива робота сили:.

Можлива робота моменту (пари сил):.

Узагальненими координатами механічної системи називаються незалежні між собою параметри q1. q2. ..., qS будь-якої розмірності, однозначно визначають положення системи в будь-який момент часу.

Число узагальнених координат одно S - числу ступенів свободи механічної системи. Положення кожної ν-ї точки системи, тобто її радіус вектор в загальному випадку завжди можна виразити у вигляді функції узагальнених координат:

Загальне рівняння динаміки в узагальнених координатах виглядає у вигляді системи S рівнянь наступним чином:

тут - узагальнена сила, відповідна узагальненої координаті:

а - узагальнена сила інерції, відповідна узагальненої координаті:

Число незалежних між собою можливих переміщень системи називається числом ступенів свободи цієї системи. Наприклад. куля на площині може переміщатися в будь-якому напрямку, але будь-яке його можливе переміщення може бути отримано як геометрична сума двох переміщень уздовж двох взаємно перпендикулярних осей. Вільне тверде тіло має 6 ступенів свободи.

Узагальнені сили. Кожній узагальненої координаті можна обчислити відповідну їй узагальнену силу Qk.

Обчислення робиться за таким правилом.

Щоб визначити узагальнену силу Qk. відповідну узагальненої координаті qk. треба дати цій координаті приріст (збільшити координату на цю величину), залишивши всі інші координати незмінними, обчислити суму робіт всіх сил, прикладених до системи, на відповідних переміщеннях точок і поділити її на приріст координати:

де - переміщення i-тої точки системи, отримане за рахунок зміни k-тої узагальненої координати.

Узагальнена сила визначається за допомогою елементарних робіт. Тому цю силу можна обчислити інакше:

І так як є приріст радіуса-вектора за рахунок збільшення координати при інших незмінних координатах і часу t. відношення можна визначати як приватну похідну. тоді

де координати точок - функції узагальнених координат (5).

Якщо система консервативна, тобто рух відбувається під дією сил потенційного поля, проекції яких. де. а координати точок - функції узагальнених координат, то

Узагальнена сила консервативної системи є приватна похідна від потенційної енергії по відповідній узагальненій координаті зі знаком мінус.

Звичайно, при обчисленні цієї узагальненої сили потенційну енергію слід визначати як функцію узагальнених координат

Перше. При обчисленні узагальнених сил реакції ідеальних зв'язків не враховуються.

Друге. Розмірність узагальненої сили залежить від розмірності узагальненої координати.

Рівняння Лагранжа 2-го роду виводяться із загального рівняння динаміки в узагальнених координатах. Число рівнянь відповідає числу ступенів свободи:

Для складання рівняння Лагранжа 2-го роду вибираються узагальнені координати і знаходяться узагальнені швидкості. Знаходиться кінетична енергія системи, яка є функцією узагальнених швидкостей, і, в деяких випадках, узагальнених координат. Виконуються операції диференціювання кінетичної енергії, передбачені лівими частинами рівнянь Лагранжа.Полученние вираження прирівнюються узагальненим силам, для знаходження яких крім формул (26) часто при вирішенні завдань використовують такі:

У чисельнику правої частини формули - сума елементарних робіт все активних сил на можливому переміщенні системи, відповідному варіації i-й узагальненої координати -. При цьому можливе переміщення всі інші узагальнені координати не змінюються. Отримані рівняння є диференціальними рівняннями руху механічної системи з S ступенями свободи.