приклад 5

Приклад 5. Різні реконструйовані зображення

На прикладі проекцій зображення, представленого на рис. 5. а, ми покажемо, що дає ряд алгоритмів реконструкції при накладенні практичних обмеження. Назвемо зображення а вихідним зображенням.

Для зручності будемо розглядати осі прямокутної системи координат, введеної в як горизонтальну і вертикальну осі. Лівий (рафик на рис. 5, в гавкає проекцію вихідного зображення, певну формулою (9.4). В напрямку

негативною полуоси, т. е. проекцію йод кутом перший і другий абзаци). Вертикальні прямі на цьому графіку - "нульові" лінії, позитивні значення набряклість гиьаются вліво від них. Ми бачимо, що проекція повністю позитивна, як цього вимагає вираження (9.4). когла саме зображення має тільки позитивні значення.

На рис. 5. б показаний результат застосування метола зворотної проекції

На ряс. 5, г показано зображення, отримане в результаті зворотного проектування 8 еквідистантних проекцій. Ці проекції були взяті підлогу кутами де співав число в інтервалі від 0 до 7. Чудово, що так багато деталей зображення а можна розрізнити на зображенні незважаючи на спотворення, обумовлене сильною полосчатостью (звичайно, малі деталі можна впевнено ідентифікувати лише в тому випадку, якщо відомо , як виглядає вихідне зображення!). Відзначимо, що за напрямками смужок на зображенні можна оцінити утли проекцій. На рис. 5, Про покататися результат застосування методу зворотної проекції до 180 еквідистантним (по куту) проекція. В даному випадку полосчатость уже не видно і все літали, наявні на зображенні можна розрізнити (якщо дуже уважно придивитися). Однак контраст при цьому виходить низьким. Слід мати на увазі, що достовірність зображення пов'язана головним чином з тим, що зображення а є двухградаціонним. т. е. є два рівня яскравості - "світлий" і темний (це зроблено для того, щоб було простіше відтворити деякі інші зображення, представлені в даному прикладі). Наприклад, світла пляма всередині еліпса на зображенні і не було б видно на зображенні якби яскравість плями становила, скажімо, чверть яскравості еліпса.

Правий графік на рис. зашумленний варіант лівого графіка. Можна бачити, що рівень шуму (генерований програмою псевдовипадкових чисел) значний. На рис. 5, е показаний результат застосування методу зворотної проекції до 180 еквідистантним зашумленими проекція (при цьому кожна проекція спотворена тим же самим середньоквадратичним рівнем шуму, що і правий графік на рис. 5.в). Незважаючи на значний рівень шуму, зображення несуттєво відрізняється від зображення

На рис. представлені модифіковані проекції [см. абзаци, що містить формули (33.5) - (33.9) і наступний за ним, відповідні звичайним проекція, показаним на рис. 5.а. Два (рафіка на рис. 5.3 мають як позитивні, так і негативні частини, оскільки вони є згортками звичайних проекцій, представлених на рис. 5.в, з функцією фільтра абзац, що містить формулу (33.8)]. На рис. Показаний модуль зворотної проекції лівого графіка рис. (відтворюється модуль з огляду на труднощі поділу огрііательной і позитивної частин даного зображення). На рис. дано зображення, отримане в резулиате зворотного проектування 8 еквідистантних модифікованих проекцій. Останні були вчяти підлогу тими ж кутами, що і проекція і, використані для отримання зображення Літали на зображенні і значно більш ясно видно, ніж на зображенні Але ступінь спотворення полосчатостью та ж сама. Зображення, реконструйоване шляхом

зворотного проектування еквілнетантних модифікованих проекцій, майже ідентично вихідного зображення а, хоча має місце невелика полосчатость, пов'язана з різкими кутами в оригінальному документі щоб повністю видалити ці артефакти, треба було б до 300 еквідистантних проекцій; якщо виконується нерівність (29.3), то полосчатость такого рівня не сприймається в реальних реконструкціях, бо на природних зображеннях рідко зустрічаються такі різкі кути; у всякому разі, полосчатость розглянутого вила перекривається полосчатостью, пов'язаної з ефектом ужсстчсн і я випромінювання і іншими ефектами].

На рис. представлено зображення, отримане шляхом зворотного проектування 180 еквідистантних модифікованих зашумленних проекцій (правий рафик на рис. типова модифікована зашумлена проекція). Помстимося, що відмінності між зображеннями а й до більш значні, ніж між д і е. Це пов'язано з тим. що операція фільтрації (33.8) підсилює шум. Проте підкреслимо, що зображення а набагато краще зображення щодо контрасту.

Лівий і правий графіки на рис. це порожнистий до усічений варіанти проекції під кутом 90 ° (т. е. лівого графіка на рис. 5.в). На рис. дані результати реконструкції по 180 модифікованим неповним проекція (§ 30). На рис. показано. що відбувається, якщо до заданих порожнистим проекція не застосовується попередня обробка. Зображення н і про реконструйовані по 180 попередньо обробленим порожнистим проекція. Попередня обробка здійснювалася шляхом "-замиканія розривів" на зображеннях відповідно, прямими лініями і кубічними кривими (останні гарантують, що як попередньо оброблені проекції. Так і їх нахили безперервні в точках розриву вихідних порожніх проекцій). На зображенні еліпс і "куточок", які чітко розділені на зображенні а, виглядають як з'єднані разом. Крім того, квадратик, чітко видний в нижній правій частині зображення а, на зображенні спотворений і неярок. Четверта частина кола, "підтримує" горизонтальне плече на зображеннях н і про яскравіше, ніж на зображенні і. Роздільність еліпса і "куточка" більш ясно видно на зображенні о, ніж на зображенні На зображенні про полосчатость значно менше, ніж на зображенні. Новомосковсктелю ці "поліпшення" можуть здатися тривіальними. Але ми підкреслюємо, що в разі реальних зображень з широкими межами значень елементів зображення (нагадаємо, що а - двухградашюнное зображення) такі "покращення" далеко не тривіальні. Деталі такого сорту неможливо зробити повністю ясними для спостереження без використання дорогих вклейок (окремих ілюстрацій до книги). Нам здається, що істотні практичні питання можуть бути адекватно розглянуті, якщо робити в тексті відповідні зауваження.

На рис. похитав зображення, отримане з необроблених усічених проекцій. Вірно реконструйована лише центральна деталь зображення а. Зображення було отримано шляхом простою перетворення кожної усіченої проекції на обох кінцях в "повну" за допомогою прямої лінії, і навіть в цьому випадку досягається значне поліпшення. Якби існував широкий діапазон рівнів яскравості в оригінальному документі, то можна було б досягти подальшого істотного поліпшення шляхом виконання процедури перетворення неповної проекції в "повну", викладеної в передостанньому абзаці § 30. Кожна з прямих ліній, згаданих вище в зв'язку з зображенням починається в точці усічення заданої проек ції і йде до нуля на одному з кінців "повної" проекції. Відрізок осі відрізаний кожної прямою лінією, становить половіпу протяжності кажлоя усіченої проекшш, Таким чином, протяжність кожної "повної" проекції в 2 рази більше протяжності заданої усіченої проекції.

На рис. 5. представлені результати реконструкції по 180 еквідистантним модифікованим проекція, для яких яскравість "еліпса" на зображенні а

змінювалася від проекції до проекції. Проекції бралися підлогу кутами від 0 до На зображенні з яскравість змінювалася за синусоїдальним законом значення, що відповідає зображенню а, при до нуля при і назад значення, відповідати зображенню а, при (звичайно, кут ніколи практично не досягав оскільки остання проекція бралася при 179 °, але яскравість приймала б значення, яке відповідає зображенню а. якби проекція підлогу кутом 180 ° дійсно була розрахована). У разі зображення яскравість змінювалася за квадратичним законом від нуля при з такою швидкістю, що в 1.6 рази перевищувала значення, ошечаюшее зображенню а. при нагадаємо, що остання проекція бралася при 179 °). Внутрішня і зовнішня кордону еліпса легко помітні на зображенні с, для якою яскравість еліпса була майже тієї ж самої, що і при. Це типові "плавні" зміни яскравості. Навіть в тому випадку, коли зміни яскравості вкрай різкі (як на зображенні форма областей зі змінною яскравістю часто реконструюється цілком помітно. На зображенні досить чітко реконструюється значна частина еліпса.

На рис. показано, як впливає зміна положення частини вихідною зображення (яскравої плями всередині еліпса) від проекції до проекції. У разі зображення у переміщення носило псевдовипадковий характер зі середньоквадратичним відхиленням, рівним 3 діаметрам переміщається плями. Спотворення зображення практично обмежується тією частиною площині зображення, де можна говорити про переміщення. Така ситуація є типовою для більшої частини нерегулярних або важко визначених переміщень. Коли ж переміщення регулярне, як у випадку зображення (яке відповідає переміщенню по колу діаметром, що дорівнює чотирьом діаметрам переміщається плями, в напрямку, протилежному повороту осей щодо осей а- і у - див. Перше речення останнього абзацу § 9), часто спостерігається сильна полосчатость на великій частині реконструйованого зображення (як це видно на зображенні

Зображення показують, як багато втрачається деталей, якщо деяких діапазонах зміни кута про відсутні задані проекції (в цьому випадку при для зображень відповідно). Навіть якщо кут "відсутнього сектора" дорівнює лише 30 ° (як у випадку зображення спотворення виявляється істотним. Фактично, якщо кут відсутнього сектора

На рис. 5. показані зображення (частини перетинів, що проходять через хворого), сформовані промисловим комп'ютерним томографом. Пацієнт нещодавно переніс хірургічну операцію на мозку, після якої всередині черепа був (з медичних міркувань) залишений хірургічний затискач. Зображення відповідає перетину, що не проходить через затиск. Останній видно як яскраве центральне пляма, з якого виходять "смужки" подібно до спиць колеса. Ці артефакти пов'язані з ефектом ужестчення (див. Зауваження 1 в § 25 і третій абзац § 32). викликається тим, що щільність металевого затиску значно вище, ніж тканин мозку і кісток черепа. Порівняння зображень показує, наскільки сильним може бути на практиці вплив ефекту ужестчення пучка і як бажано було б мати ефективний в обчислювальному відношенні алгоритм для усунення полосчатости.