Правило Лопіталя для обчислення меж

Теорема (правило) Лопиталя - метод знаходження границь функцій, який дозволяє розкривати невизначеності виду і.

2) функції і мають похідні в околиці точки;

3) в околиці цієї точки;

то існує і, причому

Зауваження 1. Розглянуті межі також можуть бути односторонніми.

Зауваження 2. Правило Лопіталя можна також застосовувати до невизначеностей типу. Перші дві невизначеності можна звести до зазначених в правилі Лопиталя типам за допомогою алгебраїчних перетворень. А невизначеності останні три зводяться до невизначеності типу за допомогою основного логарифмічного тотожності.

Приклади розв'язання задач

За допомогою правила Лопіталя обчислити межа

Почнемо із з'ясування типу невизначеності (якщо така є), для цього замість в вираз, що стоїть під знаком межі. підставляємо нуль:

Отже, необхідно розкрити невизначеність виду. Для цього застосуємо правило Лопіталя:

Знайти значення межі

Даний межа містить невизначеність типу

За допомогою алгебраїчних перетворень наведемо її до однієї з невизначеностей або. Наведемо вираз, межа якого необхідно знайти, до спільного знаменника:

Отриманий в результаті межа вже має невизначеність

тому до нього можна застосувати правило Лопіталя: