Пов’язані контури як смуговий фільтр
Розглянемо два однакових контуру (R1 = R2 = R, L1 = L2 = L, C1 = C2 = C) з індуктивним зв'язком (рис. 1).
Коефіцієнт передачі такої схеми:
де - комплексні амплітуди ЕРС сили струму в другому контурі і напруги на конденсаторі.
Для знаходження амплітуди сили струму в контурах запишемо систему рівнянь Кірхгофа:
М - коефіцієнт взаємної індукції.
Скориставшись методом комплексних амплітуд, запишемо в комплексній формі:. . . Підставивши ці значення в систему (2) отримаємо систему рівнянь:
де - опору зв'язку.
Вирішуючи систему рівнянь (3), знаходимо
З першого співвідношення (4) можна зробити висновок, що зв'язок першого контуру з другим контуром в електричному відношенні еквівалентна включенню в перший контур додатково внесеного опору Zвн:
З енергетичної точки зору наявність пояснюється тим, що частина енергії джерела надходить в другій контур і поглинається в його активному опорі. Наявність пов'язано з тим, що струм I2 наводить е.р.с. взаємної індукції в першому контурі. Таким чином, вплив другого контуру на перший призводить до збільшення еквівалентного активного опору першого контуру на і зміни його еквівалентного реактивного опору на. Отже, еквівалентний опір симетричною системи двох зв'язаних контурів, виміряний на вхідних затискачах «11» можна представити у вигляді:. . На власній частоті:
і залежать від частоти сигналу (від розладу). При. . а. має максимальне значення. Залежно від М може бути як більше, так і менше власного активного опору R першого контуру.
Якщо. зв'язок називається критичною.
Якщо. зв'язок слабка.
Якщо. зв'язок більше критичної.
При критичній зв'язку.
Помноживши чисельник і знаменник лівої частини на L 2. отримаємо:
Кількісно зв'язок між контурами характеризується коефіцієнтом зв'язку. При однакових контурах L1 = L2 = L. визначає, яка частка власного магнітного потоку котушки першого контуру проходить через котушку другого. При критичній зв'язку.
Знайдемо резонансні частоти системи з умови рівності нулю її реактивного опору.
В останнє рівняння підставимо (6), врахуємо, що. а. отримаємо:
Отримали рівняння (7) третього ступеня відносно. Коріння цього рівняння
При зв'язку менше критичної () коріння уявні і не мають фізичного сенсу. Отже, при система має одну резонансну частоту. яка визначається дійсним коренем (). При все три кореня рівні 0, система в цьому випадку має одну резонансну частоту. При все три кореня рівняння (7) дійсні і, отже, система має три резонансних частоти, одна з яких. а дві інші
Частоти називають частотами зв'язку, або нормальними частотами системи.
Для пов'язаних контурів при можна отримати фільтр з більш широкою смугою пропускання в порівнянні з одиночним контуром і амплітудно-частотну характеристику, близьку до ідеальної П-образної.
Визначимо значення коефіцієнта передачі. Для цього підставимо Im2 з (4) в (1), отримаємо:
Перетворимо знаменник (8), враховуючи, що расстройка і. тоді:
Підставами останній вираз в (8):
На рис. 24 приведено сімейство залежностей K (), описуваних рівнянням (9) для різних значень.
Ширина смуги пропускання пов'язаних контурів визначається також, як і для одиночного:
Звідси. Тоді відносна смуга пропускання при критичній зв'язку (крива 2, рис. 24) в раз більше, ніж у одиночного контуру.
При амплітудно-частотна характеристика не має провалу при (крива 1, рис. 24). При слабкій зв'язку ()
Таким чином, при слабкій зв'язку смуга пропускання пов'язаних контурів вже, ніж у одиночного контуру.
При амплітудно-частотна характеристика стає двогорбий, з провалом при (крива 3, рис. 24). Оптимальним вважається таке значення. при якому коефіцієнт передачі в мінімумі К (0) в рази менше, ніж в максимумі Kmax.
В цьому випадку можна скласти два рівняння:
З огляду на, що при модуль коефіцієнта передачі К на частотах зв'язку не залежить від і дорівнює модулю коефіцієнта передачі при критичній зв'язку і. отримаємо:
Підставами (11) в (9), і з огляду на (10а), отримаємо:
Отже, в оптимальному випадку. а смуга пропускання фільтра пов'язаних контурів приблизно втричі ширше, ніж у одиночного контуру-фільтра.