Popular lectures on mathematics books

А. А. Болібрух. Проблеми Гільберта (100 років тому)

Сьома проблема Гільберта

Повернемося до підмножини числової прямої. Розглянемо знову ланцюжок
.
Ми вже довели, що дійсних чисел "більше" ніж раціональних, тому що лічильно, а --- незліченно. Значить, існують ірраціональні (які не є раціональними) дійсні числа. (Насправді, ірраціональних чисел "набагато більше" ніж раціональних, і якщо випадковим чином кинути точку на числову пряму, вона майже напевно потрапить в ірраціональне число.)

Зауважимо, що ми довели теорему існування ірраціональних чисел, не показавши жодного ірраціонального числа.

Але зовсім неважко привести і приклад ірраціонального числа, наприклад, це. Дійсно, нехай це число раціонально. Тоді його можна представити у вигляді нескоротного дробу:
=,
де p і q --- цілі числа, які не мають спільних дільників (крім 1). Звівши це рівність в квадрат, отримаємо
2q 2 = p 2.
Значить, p 2 парне, p * p ділиться на 2. Тому p ділиться на 2. а значить, p 2 ділиться на 4. (Якщо p = 2p1. То p 2 = 4p1 2.) Тоді
2q 2 = 4p1 2,
q 2 = 2p1 2.
Це означає, що q 2 ділиться на 2. тому і q ділиться на 2.

Ми отримали, що і p. і q діляться на 2, і дріб можна скоротити на 2. Але ми ж припускали, що ця дріб нескоротних! Отримане протиріччя означає, що 2 не може бути раціональним числом.

Отже, --- число ірраціональне.

Звичайно, коли ми довели ірраціональність числа, ми тим самим ще раз довели теорему існування ірраціональних чисел. Однак існують і такі класи чисел, довести існування яких набагато простіше, ніж побудувати конкретний приклад.

Алгебраїчні і трансцендентні числа

Безліч алгебраїчних чисел позначимо літерою.

Легко бачити, що будь-який раціональне число є алгебраїчним. Дійсно, --- корінь рівняння qx-p = 0 з цілими коефіцієнтами a1 = q і a0 = -p. Отже,.

Однак не всі алгебраїчні числа раціональні: наприклад, число є коренем рівняння x 2 -2 = 0. отже, --- алгебраїчне число.

Довгий час залишалося невирішеним важливий для математики питання: Чи існують неалгебраїчні дійсні числа? Тільки в 1844 році Лиувилль 1 вперше навів приклад трансцендентного (т. Е. Неалгебраїчні) числа.

Побудова цього числа і доказ його трансцендентності дуже складні. Довести теорему існування трансцендентних чисел можна значно простіше, використовуючи міркування про еквівалентність і нееквівалентності числових множин.

А саме, доведемо, що безліч алгебраїчних чисел лічильно. Тоді, оскільки безліч всіх дійсних чисел незліченно, ми встановимо існування неалгебраїчні чисел.

Побудуємо взаємно однозначна відповідність між і деяким підмножиною. Це буде означати, що --- звичайно або лічильно. Але оскільки. то нескінченно, і значить, лічильно.

Нехай - деякий алгебраїчне число. Розглянемо всі многочлени з цілими коефіцієнтами, коренем яких є, і виберемо серед них многочлен Pмінімальной ступеня (т. Е. Буде коренем ніякого багаточлена з цілими коефіцієнтами меншій мірі).

Наприклад, для раціонального числа такий многочлен має ступінь 1, а для числа --- ступінь 2.

Розділимо всі коефіцієнти многочлена P на їх найбільший спільний дільник. Отримаємо многочлен, коефіцієнти якого взаємно прості в сукупності (їх найбільший спільний дільник дорівнює 1). Нарешті, якщо старший коефіцієнт an негативний, помножимо все коефіцієнти многочлена на -1.

Отриманий многочлен (т. Е. Многочлен з цілими коефіцієнтами, коренем якого є число, що має мінімально можливу ступінь, взаємно прості коефіцієнти і позитивний старший коефіцієнт) називається мінімальним многочленом числа.

Можна довести, що такий многочлен визначається однозначно: кожне алгебраїчне число має рівно один мінімальний многочлен.

Кількість дійсних коренів многочлена але лише його ступінь. Значить, можна пронумерувати (наприклад, за зростанням) все коріння такого багаточлена.

Тепер будь-яке алгебраїчне число повністю визначається своїм мінімальним многочленом (т. Е. Набором його коефіцієнтів) і номером, який відрізняє від інших коренів цього многочлена:
(A0, a1. An-1, an, k).

Отже, кожному числа алгебри ми поставили у відповідність кінцевий набір цілих чисел, причому з цього набору відновлюється однозначно (т. Е. Різних числах відповідають різні набори).

Пронумеруємо в порядку зростання всі прості числа (неважко показати, що їх нескінченно багато). Отримаємо нескінченну послідовність k>. p1 = 2. p2 = 3. p3 = 5. p4 = 7. Тепер набору цілих чисел (a0, a1. An-1, an, k) можна поставити у відповідність твір

(Це число позитивне і раціональне, але не завжди натуральне, адже серед чисел a0. A1. An-1. Можуть бути негативні). Зауважимо, що це число є нескоротний дріб, оскільки прості множники, що входять до розкладання чисельника і знаменника, різні. Зауважимо також, що дві нескоротні дроби з позитивними числителями і знаменниками рівні тоді і тільки тоді, коли і їх чисельники рівні, і їх знаменники рівні.

Розглянемо тепер наскрізне відображення:
(A0, a1. An-1, an, k) =
Оскільки різним алгебраїчним числам ми поставили у відповідність різні набори цілих чисел, а різним наборам --- різні раціональні числа, то ми, таким чином, встановили взаємно однозначна відповідність між множиною і деякими підмножиною. Тому безліч алгебраїчних чисел лічильно.

Так як безліч дійсних чисел незліченно, то ми довели існування неалгебраїчні чисел.

Однак теорема існування не вказує як визначити, чи є дане число алгебраїчним. А це питання іноді є дуже важливим для математики.

У 1882 році німецький математик Ліндеман 2 довів, що число трансцендентне. З цього відразу слід неможливість вирішення однієї із знаменитих завдань давнини.

Цих завдань було три: про подвоєння куба, про трисекции кута і про квадратуру кола. Їх намагалися вирішити ще математики Стародавньої Греції.

Завдання про квадратурі круга.На площині є коло. За допомогою циркуля і лінійки побудувати квадрат, площа якого дорівнює площі цього кола.

Нехай коло має радіус 1, т. Е. Задано відрізок довжини 1. Площа цього кола дорівнює, тому побудова шуканого квадрата зводиться до побудови відрізка довжини.

Далі скористаємося відомим геометричним фактом: якщо заданий відрізок довжини 1, то за допомогою циркуля і лінійки можна побудувати тільки такі відрізки, довжини яких суть числа дуже спеціального виду. А саме, ці числа можуть бути отримані з раціональних чисел за допомогою операцій добування квадратного кореня, а також складання і множення.

Але все такі числа (це неважко довести) є алгебраїчними, т. Е. Для кожного з них можна побудувати многочлен з цілими коефіцієнтами, коренем якого воно є.

Оскільки число трансцендентне, то і трансцендентно. Тому побудувати відрізок довжини за допомогою циркуля і лінійки неможливо.

Ви бачите, як рішення задачі теорії чисел --- про трансцендентності числа --- тягне рішення геометричній завдання. Це ще один яскравий приклад тісного зв'язку між різними областями математики.

Сьома проблема Гільберта формулюється так:

Нехай a --- позитивне число алгебри, не рівне 1, b --- ірраціональне алгебраїчне число. Довести, що a b є число трансцендентне.

У 1934 році радянський математик Гельфонд 3 і трохи пізніше німецький математик Шнайдер 4 довели справедливість цього твердження, і таким чином, ця проблема була вирішена.

Одна теорема існування

Колись, на зорі свого існування, журнал "Квант" запропонував своїм Новомосковсктелям наступне завдання:

Нехай a і b --- ірраціональні числа. Чи може число a b бути раціональним?

Звичайно, з використанням сьомий проблеми Гільберта цю задачу вирішити неважко. Справді, число --- трансцендентне (оскільки --- алгебраїчне ірраціональне число). Але всі раціональні числа є алгебраїчними, тому --- ірраціональне. З іншого боку,
() = * = 2 = 2.

Отже, ми просто пред'явили такі числа: a =. b =. Однак це завдання може бути вирішена і без будь-яких посилань на результат Гельфонда. Серед Новомосковсктелей знайшовся школяр, який не знав, що таке сьома проблема Гільберта, але надіслав вражаюче красиве рішення. Він міркував так: "Розглянемо число. Якщо це число раціональне, то задача вирішена, такі a і b знайдені. Якщо ж воно ірраціональне, то візьмемо a =. B =. І a b = () = 2".

Отже, цей школяр пред'явив дві пари чисел a і b. таких що одна з цих пар задовольняє поставленому умові, але йому невідомо, яка саме. Але ж пред'явити таку пару і не було потрібно! Таким чином, це елегантне рішення в певному сенсі являє собою теорему існування.

1 Жозеф Лиувилль (1809-1882) - французький математик.

2 Карл Луїс Фердинанд Ліндеман (1852-1939).

3 Олександр Осипович Гельфонд (1906-1968).

4 Теодор Шнайдер (р. 1911).