Поняття про первісної функції

Основним завданням диференціального обчислення було обчислення похідної або диференціала заданої функції. Інтегральне числення, до вивчення якого ми переходимо, вирішує зворотну задачу, а саме, відшукання самої функції по її похідної або диференціалу. Тобто, маючи dF (х) = f (х) d (7.1) або F '(х) = f (х),

де f (х) - відома функція, треба знайти функцію F (х).

Будемо вважати далі, що рівність (7.1) виконується на деякому кінцевому або нескінченному проміжку. Шукана функція F (х) називається первісною функцією по відношенню до функції f (х). Таким чином, можемо записати таке визначення.

Означення: Функція F (х) називається первісною функції f (х) на відрізку [a, b], якщо у всіх точках цього відрізка виконується рівність: F '(х) = f (х) або dF (х) = f (х ) d.

Наприклад. однією з первісних функцій для функції f (х) = 3х 2 буде F (х) = х 3. тому (Х 3) '= 3х 2. Але первоообразной для функції f (х) = 3х 2 буде також і функції і. тому .

Отже, дана функція f (х) = 3х 2 має безліч первоообразних, кожна з яких відрізняється лише на постійний доданок. Покажемо, що цей результат має місце і в загальному випадку.

Теорема Дві різні первісні однієї і тієї ж функції, визначеної в деякому проміжку, відрізняються одна від одної на цьому проміжку на постійний доданок.

де С - константа (тут використано наслідок з теореми Лагранжа).

Теорема, таким чином, доведена.

Геометрична ілюстрація. Якщо у = F1 (х) і у = F2 (х) - первісні однієї і тієї ж функції f (х). то дотична до їх графіками в точках із загальною абсциссой х паралельні між собою (рис. 7.1).

У такому випадку відстань між цими кривими уздовж осі Оу залишається постійним F2 (х) - F1 (х) = С. тобто ці криві в деякому розумінні "паралельні" одне за одним.

Додаючи до якоїсь первісної F (х) для даної функції f (х). визначеної на проміжку Х. всі можливі постійні С. ми отримаємо всі можливі первісні для функції f (х).

Отже, вираз F (х) + С. де. а F (х) - деяка первісна функції f (х) включає всі можливі первісні для f (х).

Приклад 1. Перевірити, чи є функції первісних для функції

Відповідь. первісних для функції будуть функції і

Визначення: Якщо функція F (х) є деякою первісною для функції f (х), то безліч всіх первісних F (х) + С називають невизначеним інтегралом від f (х) і позначають:

f (х) - підінтегральна функція,

f (х) dх - підінтегральний вираз

З цього випливає, шо невизначений інтеграл є функцією загального вигляду, диференціал якої дорівнює подинтегрального висловом, а похідна від якої по змінної х дорівнює підінтегральної функції у всіх точках.

З геометричної точки зору невизначений інтеграл являє собою сімейство кривих, кожна з яких виходить шляхом зсуву однієї з кривих паралельно самій собі вгору або вниз, тобто уздовж осі Оу (рис. 7.2).

Операція обчислення невизначеного інтеграла від деякої функції називається інтегруванням цієї функції.

Відзначимо, що якщо похідна від елементарної функції завжди є елементарною функцією, то первоообразная від елементарної функції може не представлятися за допомогою кінцевого числа елементарних функцій.

Розглянемо тепер властивості невизначеного інтеграла.

З визначення 2 випливає:

1. Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральної функції, тобто, якщо F '(х) = f (х). то

2. Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює подинтегрального висловом

З визначення диференціала і властивості (7.3)

3. Невизначений інтеграл від диференціала деякої функції дорівнює цій функції з точністю до постійного доданка, тобто (7.5)

Справедливість (7.5) легко перевірити диференціюванням (диференціали від обох частин рівності рівні).

Замечанія.В формулах (7.4) і (7.5) знаки і які стоять поруч, знищують один одного (якщо не враховувати постійного доданка в (7.5)). В цьому розумінні диференціювання та інтегрування є взаємно зворотними математичними операціями.

4. Відмінний від нуля постійний множник можна виносити за знак невизначеного інтеграла, тобто, якщо. то

Властивість перевіряється диференціюванням обох частин.

5. Інтеграл від алгебраїчної суми двох функцій дорівнює сумі інтегралів від цих функцій, тобто (7.7)

Для доказу також треба взяти похідні від обох частин і переконатися, що вони рівні між собою.

Це властивість залишається вірним для будь-якого кінцевого числа доданків.

При обчисленні невизначених інтегралів корисно застосовувати такі правила:

Правила доводяться дифференцированием правих і лівих частин рівності (7.8 - 7.10).