Поле рівномірно зарядженої площини

Нехай нескінченна площина (рис.3.5) заряджена рівномірно з поверхневою щільністю заряду  ( = dQ / dS -заряд, що припадає на одиницю площі поверхні).

Виділимо на площині майданчик Sи оточимо її циліндричної замкнутої поверхнею з підставою, паралельним площині. Так як лінії вектора Е перпендикулярні площині і паралельні утворюючим циліндра, то повний потік через циліндричну замкнуту поверхню дорівнює сумі потоків лише через два її заснування:

Згідно з теоремою Остроградського-Гаусса

,

Прирівнявши праві частини для N, отримаємо

З (3.11) випливає, що напруженість поля нескінченної зарядженої площини в точках не залежить від відстані до них. Отже, поле площині є однорідним.

Поле двох нескінченних паралельних різнойменно заряджених площин (рис.3.6)

Нехай поверхневі щільності заряду площин + і -равни за величиною. Як видно з рис.3.6, лінії полів зліва і праворуч від площин спрямовані назустріч один одному. Тому сумарна напруженість поля поза площин Е = 0. В області між площинами, з урахуванням (3.11).

Таким чином, поле між площинами є однорідним. Однорідним можна вважати і поле всередині кінцевих паралельних площин (плоский конденсатор).

Робота сил електростатичного поля при переміщенні заряду. потенціал

Про

межах роботу по переміщенню зарядаQ0 з точки 1 в точку 2, що здійснюються полем зарядаQ (рис. 3.7).

Так як при русі заряду Q0 сила взаємодії його з зарядомQ. що створює поле, згідно із законом Кулона залежить від расстояніяr:

,

то спочатку визначимо елементарну роботу dAна нескінченно малому участкеdℓ:

тут α - кут між векторами Fіdℓ. З огляду на, чтоdℓcosα = dr, знайдемо повну роботу як інтеграл:

Звідси випливає, що робота електричного поля не залежить від форми шляху, а визначається початковим і кінцевим положеннями заряду Q0. Це означає, чтоелектростатіческое поле є потенційним, а його сили - консервативними.

З (3.13) випливає, що робота, що здійснюються при переміщенні заряду в електростатичному полі уздовж будь-якого замкнутого контуру, дорівнює нулю, тобто:

Остання рівність можна записати, враховуючи, що

,

Тоді для електростатичного поля маємо:

,

де Еℓ = Е сosα- проекція вектора Е на перемещеніеdℓ.

Цей інтеграл називається циркуляцією вектора напряженності.Для електростатичного поля циркуляція уздовж будь-якого замкнутого контуру дорівнює нулю.

З розділу "механіка" відомо, що робота консервативних сил дорівнює убутку потенційної енергії:

Порівнюючи це рівність з (3.13), отримаємо формулу потенційної енергії заряду Q0. що знаходиться в полі зарядаQ:

У міру віддалення від заряду Q потенційна енергія убуває і можна прийняти, що в бесконечностіWп = 0, тоді постійна інтегрування

Ставлення Wп / Q0 не залежить від заряду і може служітьенергетіческой характеристикою поля. називаемойпотенціалом поля в даній точці, створеним зарядомQ:

З формул (3.14) і (3.15) випливає, що потенціал поля точкового заряду (кулі) Q:

Робота, що здійснюється електричними силами по переміщенні заряду Q0 з точки 1 в точку 2, може бути обчислена через різницю потенціалів:

Якщо точка 2 знаходиться в нескінченності, то φ2 = 0 і отже,

де Q0 -Величина переміщуваного в поле заряду.

Таким чином, потенціал даної точки поля визначається роботою, яку здійснюють силами поля при переміщенні одиничного заряду з цієї точки в нескінченність. За одиницю потенціалу прінятВольт:

Знак потенціалу визначається знаком заряду, що створює поле. Якщо поле утворено системою зарядів, то його потенціал дорівнює сумі алгебри потенціалів полів всіх зарядів (принцип суперпозиції):

Точки простору з рівними потенціалами утворюють поверхню, яка називається еквіпотенційної. Такий поверхнею, наприклад, є поверхня рівномірно зарядженої провідної сфери.

Робота при змінному заряді Q уздовж еквіпотенційної поверхностіA = Q Δφ = 0.