Поле (алгебра)

Кільця і ​​поля. Математичні структури. Урок 82 // MathTutor

Поле в алгебрі - математичний об'єкт, який визначається в сучасній математиці як коммутативное асоціативне кільце. в якому будь-який ненульовий елемент має зворотний по множенню. Також зазвичай вважається, що при цьому 1 ≠ 0 (тобто нейтральні елементи по складанню і множенню різні). Характерні приклади полів: дійсні числа [math] \ mathbb R [/ math]. раціональні числа [math] \ mathbb Q [/ math]. Концепція поля була введена в XIX столітті в роботах за рішенням класичної проблеми знаходження формул для вирішення поліноміальною рівняння [math] n [/ math] -го степеня. Поле є базовим об'єктом комутативність алгебри. на основі поняття поля будується алгебраїчна геометрія.

У підручниках алгебри поле зазвичай позначається латинською буквою K або F.

[Ред] Розгорнуте визначення

Поле - нетривіальне [1] безліч (алгебраїчна структура) з бінарними операціями додавання + і множення [math] \ cdot [/ math]. які:

  • комутативні [math] a + b = b + a [/ math]. [Math] a \ cdot b = b \ cdot a [/ math];
  • асоціативні [math] (a + b) + c = a + (b + c) [/ math]. [Math] (a \ cdot b) \ cdot c = a \ cdot (b \ cdot c) [/ math];
  • множення дистрибутивно по відношенню до складання [math] a \ cdot (b + c) = a \ cdot b + a \ cdot c [/ math];
  • будь-який елемент [math] a [/ math] має протилежний по додаванню [math] -a [/ math]. такий що [math] a + (-a) = 0 [/ math];
  • будь-який ненульовий елемент [math] a [/ math] має зворотний по множенню [math] a '[/ math]. такий що [math] a \ cdot a '= 1 [/ math].

[Ред] Приклади і конструкції

Приклади ресурсів: раціональних чисел [math] \ mathbb Q [/ math]. поле дійсних чисел [math] \ mathbb R [/ math]. кінцеве поле з [math] p [/ math] елементів [math] \ mathbb F_p [/ math] ([math] p [/ math] - просте число), поле раціональних функцій від однієї змінної [math] K (x) [ / math] (де [math] K [/ math] - деяке поле).

Поле можна отримати з цілісного кільця, тобто кільця з комутативним і асоціативним множенням, без дільників нуля (твір ненульових елементів не дорівнює нулю), якщо взяти його поле приватних. тобто ввести природним чином додавання і множення на безлічі формальних дробів [math] a / b [/ math] ([math] b \ ne 0 [/ math]). Таким чином, наприклад, з кільця цілих чисел [math] \ mathbb Z [/ math] виходить поле раціональних чисел [math] \ mathbb Q [/ math].

Якщо дано поле [math] K [/ math]. то що вміщує його полем буде алгебраїчне замикання [math] K '[/ math]. получающееся шляхом приєднання всіх коренів алгебраїчних рівнянь з коефіцієнтами поля [math] K [/ math]. Наприклад, алгебраїчним замиканням поля дійсних чисел [math] \ mathbb R [/ math] є поле комплексних чисел [math] \ mathbb C [/ math]. Для доказу існування алгебраїчного замикання в загальному випадку потрібне використання аксіоми вибору.

Поле з введеної на ньому метрикою може бути вкладено як метричний простір свого поповнення (тобто в поповненні будь-яка фундаментальна послідовність буде мати межу). На поповнення можна ввести структуру поля, продовживши операції додавання і множення по безперервності. Так, поповненням поля раціональних чисел [math] \ mathbb Q [/ math] за стандартною метриці (відстань між числами одно модулю їх різниці) буде полем дійсних чисел [math] \ mathbb R [/ math]. Поповненням поля раціональних чисел по метриці, що задається [math] p [/ math] -адіческой нормою, буде полем [math] p [/ math] -адіческіх чисел [math] \ mathbb Q_p [/ math]. [2]

В алгебраїчній геометрії вводиться поле раціональних функцій на алгебраїчних багатовидів [math] X [/ math]. наприклад, поле раціональних функцій на кривій.

Поле, що складається з кінцевого числа елементів, називається кінцевим полем (згадувані вище поля раціональних і дійсних чисел нескінченні). Прикладом кінцевого поля буде кільце відрахувань по модулю [math] p [/ math]. що складається з [math] p [/ math] елементів [math] Z / pZ, [/ math] якщо [math] p [/ math] - просте число. Будь-яке кінцеве поле має [math] q = p ^ k [/ math] для деякого простого числа [math] p [/ math] і існує рівно одне поле з [math] q = p ^ k [/ math] елементів для кожного простого числа [math] p [/ math] і кожного натурального числа [math] k [/ math]. Група ненульових елементів по множенню кінцевого поля є циклічної. Кінцеві поля використовуються в теорії кодування і криптографії.

[Ред] Історія

Концепція поля з'явилася в XIX столітті в роботах Нільса Абеля і Галуа. присвячених проблемі можливості розв'язання рівнянь в радикалах. Ця проблема була поставлена ​​в зв'язку з необхідністю вирішувати рівняння [math] n [/ math] -го степеня [math] a_0x ^ n + a_1x ^ +. + A_x + a_n = 0 [/ math] в радикалах, т. Е. Знайти вираження для рішень цього рівняння за допомогою операцій додавання, віднімання, множення, ділення і вилучення коренів різних ступенів. До XIX століття були знайдені вирази для вирішення спільних рівнянь 1, 2, 3, 4-го ступеня, але не було відомо формул для вирішення спільних рівнянь більш високих ступенів. Теорія Галуа, що оперує з полями, прояснила це питання. Класична теорія Галуа має справу з кінцевими алгебраїчними розширеннями полів, які представляють собою розширення вихідного поля (наприклад, поля раціональних чисел [math] \ mathbb Q [/ math]) шляхом приєднання кінцевого числа коренів рівнянь з коефіцієнтами з базового поля. Галуа зіставив таким розширенням кінцеві групи автоморфізмів, що зберігають на місці базове підполі, і довів, що можливість розв'язання рівняння в радикалах еквівалентна можливості розв'язання кінцевої групи відповідного алгебраїчного розширення, тим самим вирішивши класичну математичну проблему про можливість розв'язання алгебраїчних поліноміальних рівнянь в радикалах. Наприклад, з теорії Галуа слід, що загальне рівняння п'ятого ступеня і вище нерозв'язною в радикалах.

Термін «поле» з'явився пізніше в XIX столітті і введений в математичних роботах Дедекинда.

[Ред] Примітки

  1. ↑ Тобто складається з більш, ніж одного елемента
  2. ↑ Будь-яке раціональне число [math] r [/ math] можна представити як [math] r = p ^ n \ frac ab [/ math] де [math] a [/ math] і [math] b [/ math] цілі числа , які не діляться на заданий просте число [math] p [/ math]. а [math] n [/ math] - ціле. Тоді [math] | r | _p [/ math] - [math] p [/ math] -адіческая норма [math] r [/ math] - визначається як [math] p ^ [/ math]. Якщо [math] r = 0 [/ math]. то [math] | r | _p = 0 [/ math].

[Ред] Література

  • Ван дер Варден Б. Л. Сучасна алгебра. т.т.1-2, М-Л: ОНТИ НКТП, 1937.