Похідна показовою і логарифмічною функції

На сторінці Визначення похідної ми вивели формули похідної експоненційної функції \ (y = \) і функції натурального логарифма \ (y = \ ln x \). Нижче ми розглянемо показову і логарифмічну функцію з довільним підставою і отримаємо вирази для їх похідних.

Похідна логарифмічної функції

Почнемо з похідною логарифмічною функції \ (y = x \), де підставу \ (a \) більше нуля і не дорівнює одиниці: \ (a> 0 \), \ (a \ ne 1 \). Згідно з визначенням похідної, дамо аргументу \ (x \) приріст \ (\ Delta x> 0 \), причому припустимо, що \ (x + \ Delta x> 0 \). Логарифмічна функція отримає відповідне прирощення \ (\ Delta y \), рівне \ [\ Delta y = \ left (\ right) - x. \] Розділимо обидві частини рівності на \ (\ Delta x \): \ [>> = \ frac> \ left [_a> \ left (\ right) - _a> x> \ right]> => \ frac >> => \ left (>> \ right).> \] Позначимо \ (\ large \ frac> \ normalsize = \ large \ frac \ normalsize \). Тоді останнє співвідношення можна переписати у вигляді \ [>> = \ frac> \ left (>> \ right)> = \ cdot n \, \ left (> \ right).> \] Використовуючи властивість логарифма статечної функції, отримуємо: \ [\ frac >> = \ frac> \ right) ^ n>. \] Вважаючи \ (\ Delta x \ to 0 \) (в цьому випадку \ (n \ to \ infty \)), знаходимо межа відносини збільшень, т . Е. похідну логарифмічною функції: \ [\ frac >>> = \ left [_a >> \ right)> ^ n >> \ right]> = \ left [> \ right)> ^ n >> \ right].> \] тут ми використовували властивість межі від складної функції, враховуючи, що логарифмічна функція є безперервною. Межа в квадратних дужках дорівнює знаменитому числу \ (e \). яке приблизно становить \ (2.7 \ color \ color \ ldots \) ​​(\ (2.7 \), потім два рази рік народження Л. М. Толстого): \ [\ lim \ limits_> \ right) ^ n> = e \ approx 2,7 \ color \ color459 \ ldots \] Отже, похідна логарифмічною функції має вигляд \ [_ a> x> \ right) ^ \ prime> = \ frace. \] За формулою переходу до нового основи логарифма маємо: \ [e = \ frac >> = \ frac>. \] Таким чином, \ [y '\ left (x \ right) = _a> x> \ right) ^ \ prime> = \ frac>. \] У разі \ (a = e \) ми отримуємо натуральний логарифм. похідна якого виражається формулою \ (\ right) ^ \ prime> = \ large \ frac \ normalsize. \)

Відзначимо ще один важливий окремий випадок - похідну десяткового логарифма. \ [\, X> \ right) ^ \ prime> = \ frac \, e >> = \ frac, \] де число \ (M \) одно \ (M = \ text \, e \ approx 0.43429 \ ldots \ )

Похідна показовою функції

Оскільки показова функція з основою \ (a \) (\ (a> 0 \), \ (a \ ne 1 \)) і логарифмічна функція з тим же підставою утворюють пару взаємно-зворотних функцій, то похідну показовою функції можна знайти за допомогою теореми про похідну оберненої функції.

Нехай дана пара взаємно-зворотних функцій \ (y = f \ left (x \ right) = \) і \ (x = \ varphi \ left (y \ right) = y. \) Тоді \ [> \ right) ^ \ prime = f '\ left (x \ right)> = >> = _a> y> \ right)> ^ \ prime >>>> = >>>> = = \ ln a.> \] В окремому випадку \ ( a = e \) похідна дорівнює самій функції: \ [> \ right) ^ \ prime> = \ ln e =. \] У прикладах, наведених нижче, знайти похідну заданої функції.