Побудова проекцій плоских фігур - площину - курс нарисної геометрії - креслення, теорія,

Побудова проекцій плоских фігур (т. Е. Фігур, всі крапки яких лежать в одній площині, наприклад, квадрата, кола, еліпса і т. Д.) Зводиться до побудови проекцій ряду точок, відрізків прямих і кривих ліній, що утворюють контури проекцій фігур. Знаючи координати вершин, наприклад, трикутника, можна побудувати проекції цих точок, потім проекції сторін і отримати таким чином проекції фігури.

Креслення, що містять проекції трикутника, вже зустрічалися (наприклад, рис. 110, 112 і ін.). Якщо порівняти між собою рис. 110 і 112, то можна помітити, що на рис. 110 одна з проекцій, покладемо фронтальна, зображує «лицьову» сторону трикутника, а горизонтальна - «тильну». А на рис. 112 кожна з проекцій зображує трикутник з однією і тією ж його боку. Ознакою може служити порядок обходу вершин: на рис. 110 для фронтальної проекції за годинниковою стрілкою (рахуючи від А "до С"), а для горизонтальної - проти годинникової стрілки; на рис. 112 для обох проекцій обхід в одному напрямку - в даному випадку за годинниковою стрілкою.

У загальному випадку в системі π1. π2. π3 проекції будь-якого багатокутника є також багатокутники з тим же числом сторін; при цьому площину цього багатокутника є площиною загального положення. Але якщо в системі π1. π2 обидві проекції, наприклад, трикутника являють собою трикутник, то його площину може виявитися площиною загального положення або профільно-проецирующей: на рис. 112 - площину загального положення, а на рис. 127 - профільно-проектує. Визначником служить, як було сказано на с. 52 в поясненні до рис. 127, горизонталь (або фронталь): якщо її проекції на π1 і π2 взаємно паралельні, то площину профільно-проектує (рис. 127); якщо ж не паралельні, то площину загального положення (наприклад, рис. 112, 115, зліва).

Якщо проекція багатокутника на π1 або на π2 є відрізком прямої, то площину цього багатокутника відповідно перпендикулярна до π1 або до я2. Наприклад, на рис. 123 площину трикутника горизонтально-проецірую- щая, на рис. 125 - фронтально-проектує.

Фігура, розташована паралельно площині проекцій, проектується на неї без спотворення. Наприклад, всі елементи трикутника CDE, зображеного на рис. 133, проектуються на пл. π2 без спотворення; коло, зображений на рис. 140, проектується на пл. π1 без спотворення. -

Якщо ж площина фігури не паралельна площині проекцій, то для визначення натурального виду (т. Е. Без спотворення) цієї фігури застосовують способи, зазначені далі, в розділі V. Звичайно, можна було б і тепер, не знаючи ще цих способів, побудувати, наприклад, натуральний вигляд трикутника, зображеного на рис. 112, визначивши довжину кожної його боку як довжину відрізка (див. § 13) і потім побудувавши трикутник зі знайдених відрізків. Разом з тим визначилися б і кути даного трикутника. Так надходять, наприклад, при побудові розгортки

бічній поверхні піраміди, призми та ін. (див. далі § 44). Якщо ж багатокутник розташований в проецирующей площині, то можна побудувати його натуральний вигляд так, як показано на рис. 141.

Покладемо, потрібно визначити натуральний вигляд чотирикутника KPNM, розташованого в фронтально-проектує пл. α. Тоді, як це показано на рис. 141 справа, можна взяти в площині фігури дві осі прямокутних координат з початком хоча б в точці К; вісь абсцис 2. вісь ординат перпендикулярно до π2 (проекції цієї осі K "Y", K'Y '), провести пряму KL (це можна зробити, наприклад, паралельно К "Х") і відкласти на ній К1 = = К "Р ", К2 = К" М ", КЗ = K" N ". Потім на перпендикулярах до прямої KL в точках 1,2 і 3 відкладемо відрізки Р1 = Р'4, М2 = М'5 і N3 = N'6. Побудований таким чином чотирикутник KMNP є натуральний вигляд заданого.

При вирішенні багатьох завдань питання про те, яке положення займає плоска фігура щодо площин проекцій, набуває суттєвого значення. Як приклад розглянемо питання про побудову чотирьох чудових точок трикутника.

Так як поділу відрізка прямої в просторі навпіл відповідає таке ж поділ проекцій цього відрізка (див. § 12), то побудова точки перетину медіан трикутника 1) може бути вироблено на кресленні у всіх випадках безпосередньо. Досить (рис. 142) провести медіани на кожній з проекцій трикутника, і точка перетину його медіан буде визначена. При цьому можна обмежитися побудовою обох проекцій лише однією з медіан (наприклад, A'D 'і A "D") і однієї проекції другий медіани (наприклад, В "E"); в перетині A "D" і В "Е 'отримуємо точку М", а по ній знаходимо на A'D' точку М '.

Можна було б також, побудувавши лише одну з медіан трикутника, знайти на ній точку М на підставі відомого з геометрії властивості цієї точки (вона ділить кожну медіану щодо 2. 1).

Побудова точки перетину трьох висот трикутника 2) і точки перпендикулярів до сторін трикутника, проведених через їх середини 3), пов'язане з проведенням взаємно перпендикулярних прямих.

1) Точка перетину медіан є центр ваги трикутника.

2) Ортоцентр трикутника.

3) Центр описаного кола.

У § 15 були вказані умови, при яких перпендикулярні відрізки в просторі мають своїми проекціями також перпендикулярні відрізки, Якщо площину трикутника паралельна площині проекцій (наприклад, трикутник CDE на рис. 133), то, опустивши перпендикуляри з точок С ", D" і Е "на протилежні їм сторони, отримуємо проекції висот трикутника, Але в трикутнику загального положення так вчинити не можна,

В окремому випадку, коли одна сторона трикутника паралельна пл. π1; а інша паралельна пл, π2 (рис, 143), провівши C "F" перпендикулярно до А "В" і В'Е 'перпендикулярно до А "З, отримуємо в просторі CF⊥АВ і BE⊥АС; точка перетину висот виявилася побудованою без будь-яких особливих прийомів.

У самому ж загальному випадку для проведення на проекційному кресленні перпендикулярних ліній доводиться вдаватися до особливих прийомів, які будуть викладені далі.

Побудова точки перетину биссектрис трикутника 1) також може бути вироблено безпосередньо лише в окремих випадках розташування трикутника щодо площин проекцій. Це пояснюється тим, що розподіл навпіл проекції будь-якого кута відповідає його поділу навпіл в просторі тільки в тому випадку, якщо сторони даного кута однаково нахилені до тієї площини проекцій, на якій здійснюється поділ навпіл проекції кута (див. § 15).

При побудові проекцій будь-якого багатокутника необхідно звернути увагу на те, щоб не порушувалося умова знаходження всіх точок даної фігури в одній площині

На рис. 144 дані повністю горизонтальна проекція деякого п'ятикутника ABCDE і фронтальні проекції тільки трьох його вершин: А ", В" і Е ", Справа

на рис, 144 показано побудову проекцій інших двох вершин, С "і D", п'ятикутника, Щоб точки С і D лежали в площині, визначеної трьома крапками А.

1) Центр вписаного кола.

В і Е, необхідно, щоб вони знаходилися на прямих, що лежать в цій площині, Цими прямими є діагоналі АС, AD і BE, горизонтальні проекції яких ми можемо побудувати. На фронтальній проекції п'ятикутника ми можемо провести лише В "Е", Але в площині п'ятикутника лежать точки перетину діагоналей До і М, горизонтальні проекції яких (К 'і М') є, а фронтальні проекції виходять відразу, так як вони повинні лежати на В "Е". По двох точках будуються фронтальні проекції і інших двох діагоналей А "К" і А "М", на них повинні лежати точки С "і D", які визначаються по їх горизонтальним проекція.

Коло, площина якого паралельна будь-якої площини проекцій, проектується на цю площину без спотворення (див, рис, 140, де коло узятий в горизонтальній площині). Якщо площину кола розташована перпендикулярно до площини проекцій, то на цю площину коло проектується у вигляді відрізка прямої, рівного діаметру кола,

Але якщо коло розташований в площині, що становить з площиною проекцій будь-якої гострий кут φ, то проекцією кола є фігура, яка називається еліпсом.

Еліпсом називається також крива, що обмежує еліпс-фігуру: якщо еліпс-фігура є проекцією кола, то еліпс-лінія є проекцією окружності. У подальшому викладі, кажучи про еліпсі, будемо мати на увазі проекцію кола.

Еліпс відноситься до числа кривих, які називаються кривими другого порядку. Рівняння таких кривих в декартових координатах є рівняння другого порядку. Крива другого порядку перетинається з прямою лінією в двох точках. Далі ми зустрінемося ще з параболою і гіперболою, теж кривими другого порядку.

Еліпс можна розглядати як «стислу» окружність. Це показано на рис, 145, зліва, Покладемо, що на радіусі ОВ відкладений відрізок ОВ1 довжиною b, причому b 1) до еліпсу в точці К.

1) Від normalis (лат.) - прямолінійний.

Як побудувати осі еліпса, якщо відомі його пов'язані діаметри?

Нехай отримані пов'язані полудіаметри З А і СВ (рис. 148). Для побудови осей еліпса:

1. один з пов'язаних полудіаметров, наприклад СВ, повертаємо на кут 90 ° у напрямку до іншого (до положення СВ2);
2. проводимо відрізок АВ2 і ділимо його навпіл;
3. з точки До проводимо коло радіусом КС;
4. пряму, яка визначається відрізком АВ2. продовжуємо до перетину з цим колом в точках D і Е;
5. проводимо пряму DC, отримуємо напрямок великої осі еліпса;
6. проводимо ЄС - напрямок малої осі еліпса;
7. відкладаємо C1 = АЕ - велика піввісь;
8. відкладаємо СЗ = AD - мала піввісь;
9. відкладаємо С2 = С1, С4 = СЗ, С5 = СА, Сб = СВ.

Еліпс може бути проведений через вісім точок 1, А, 3, В, 2, 5, 4 і 6 або побудований з великої й малої осях, як показано на рис. 147.

Отже, провівши прямі CD і РЄ, ми отримали направлення великої і малої осей еліпса; точка А, що належить еліпсу, ділить діаметр ED на два відрізки, з яких один (АЕ) дорівнює велика піввісь цього еліпса, а інший (AD) - малої півосі. Якщо (рис. 149)

взяти осі координат х і у відповідно за прямими CD і РЄ та з точки А провести перпендикуляр AD до прямої CD, то координати точки А можуть бути виражені таким чином:

Це рівняння еліпса, у якого АЕ - велика піввісь, a AD - мала піввісь.

На рис. 146 було показано побудова горизонтальної проекції кола, розташованої в фронтально-проектує площині, нахиленій до пл. π1. Нехай тепер в такій площині лежить еліпс з півосями а і Ь. Його проекцією іноді може виявитися окружність з діаметром, рівним малої осі еліпса: це буде тоді, коли для кута між площиною, в якій лежить еліпс, і пл. π1 має місце співвідношення cos? = B / a (рис. 150).
Отримана окружність буде служити проекцією ряду еліпсів, якщо змінювати кут φ і розмір a, залишаючи b незмінним. Уявімо собі прямий круговий циліндр з вертикальною віссю (рис. 151); похилі перетину цього циліндра будуть еліпсами, мала вісь яких дорівнює діаметру циліндра.

Питання до §§20-21

1. Як зображується на кресленні фронгально-проектує площину, проведена через пряму загального положення?
2. Як побудувати проекції центра ваги в заданому кресленні трикутника?
3. Що можуть являти собою проекції кола в залежності від положення його площині відносно площини проекцій?
4. Чи можна розглядати еліпс як «стислу» окружність?
5. Що таке коефіцієнт стиснення еліпса?
6. Чи має еліпс: а) осі симетрії, б) центр симетрії?
7. Які діаметри еліпса називаються: а) осями, б) сполученими діаметрами?
8. Як по заданих зв'язаних діаметрами еліпса побудувати його осі?