Площа поверхні обертання

Якщо крива задана параметричними рівняннями

,

Те площа поверхні, утвореної обертанням навколо осі дуги цієї кривої, обчислюється за формулою

де і-значення параметра відповідне кінців дуги.

Якщо крива задана рівнянням виду

,

Те замість формули отримаємо

Де і - абсциси початку і кінця дуги.

6.5.1.Найті площа поверхні, утвореної обертанням навколо осі дуги синусоїди від до

Рішення. Знаходимо, тоді

Зробимо заміну змінної

Знайдемо межі інтегрування по:

6.5.2.Найті площа поверхні, утвореної обертанням навколо осі Ох дуги кубічної параболи укладеної між прямими і

Рішення. Побудувавши дугу параболи між точками А і В де,

помічаємо, що утворена поверхня обертання цієї дуги навколо осі Ох складається з двох однакових частин.

Тому згідно з формулою маємо

Для обчислення інтеграла вважаємо

6.5.3.Найті площа поверхні, утвореної обертанням навколо осі абсцис астроїди

Складемо подинтегрального вираження відповідно до формули

Зміни параметра е від t = 0 до відповідає рух точки по астроїда від А до В. Дуга АВ при обертання осі Ох половину шуканої площі, тому

Додатки певних інтегралів до вирішення завдань фізики.