Лінійні диференціальні рівняння другого порядку

Визначення 1. Рівняння, виду:

де безперервні на проміжку функції, називається лінійним диференціальним рівнянням (ЛДУ) другого порядку. Якщо для всіх з проміжку. то рівняння (1) називають лінійним однорідним диференціальним рівнянням (ЛОДР):

Якщо то рівняння (1) називають лінійним неоднорідним диференціальним рівнянням (ЛНДУ).

Визначення 2. Дві функції і називаються лінійно залежними на проміжку, якщо для всіх їх відношення дорівнює постійній величині, тобто В іншому випадку, якщо функції називаються лінійно незалежними на проміжку.

Визначення 3. Якщо і лінійно незалежні рішення ЛОДР, то вони утворюють фундаментальну систему рішень цього рівняння.

Теорема 1. Якщо і лінійно незалежні рішення ЛОДР (2) на проміжку, то їх лінійна комбінація

де і довільні постійні, є загальним рішенням цього рівняння.

Теорема 2. Загальне рішення ЛНДУ другого порядку (1) представляється у вигляді суми загального рішення відповідного ЛОДР (2) і будь-якого приватного рішення ЛНДУ (1), тобто спільне рішення ЛНДУ (1).

Теорема 3. Якщо приватне рішення ЛНДУ:

а приватне рішення ЛНДУ:

то є приватним рішенням ЛНДУ:

Лінійні однорідні диференціальні рівняння з постійними коефіцієнтами

Визначення 1. Рівняння виду

де і дійсні числа, називається лінійним однорідним диференціальним рівнянням (ЛОДР) другого порядку з постійними коефіцієнтами.

Метод Ейлера для вирішення ЛОДР з постійними коефіцієнтами

Приватні рішення такого рівняння отримують за допомогою заміни:

Підставляючи в рівняння (3) вираження (*), отримаємо:

Рівняння (4) називається характеристичним для даного рівняння (3). Воно є квадратним рівнянням, тому в залежності від величини дискримінанту можливі три випадки.

1) Тоді коріння характеристичного рівняння (4) дійсні і різні - Вони дадуть два лінійно незалежних рішення: і. Отже, в цьому випадку по теоремі 1 спільне рішення рівняння (3) можна записати у вигляді:

2) В цьому випадку Тому одне рішення рівняння (3) буде. В якості другого, лінійно незалежної з першим, можна взяти функцію. Отже, в цьому випадку по теоремі 1 спільне рішення рівняння (3) можна записати у вигляді:

3) У цьому випадку коріння рівняння (4) комплексно-зв'язані: Тоді як лінійно незалежних рішень можна взяти функції і Отже, в цьому випадку по теоремі 1 спільне рішення рівняння (3) можна записати у вигляді:

Приклади з рішеннями

Приклад 1. Знайти фундаментальну систему рішень і спільне рішення:

Рішення. Підставляючи в задане рівняння, отримаємо характеристичне рівняння:

Так як коріння дійсні і різні, то фундаментальну систему рішень цього рівняння складуть функції:

Тоді загальне рішення даного рівняння можна записати у вигляді лінійної комбінації:

Приклад 2. Вирішити рівняння:

Рішення. Характеристичне рівняння:

Коріння цього рівняння будуть дійсними і рівними:

Тоді фундаментальну систему рішень цього рівняння складуть функції:

Загальне рішення запишеться як лінійна комбінація цих рішень:

Приклад 3. Розв'язати рівняння:

Рішення. Характеристичне рівняння:

Коріння цього рівняння будуть комплексно-сполученими:

Фундаментальну систему розв'язків цього рівняння складуть функції:

Загальне рішення запишеться як лінійна комбінація цих функцій:

Приклад 4. Вирішити задачу Коші:

Рішення. Характеристичне рівняння:

Коріння цього рівняння дійсні і рівні:

Фундаментальну систему розв'язків цього рівняння складуть функції:

Загальне рішення запишеться як лінійна комбінація цих функцій:

Знайдемо приватне рішення, яке задовольняє початковим умовам і Спочатку знайдемо:

Складемо систему з двох рівнянь, підставляючи в загальне рішення

Підставами знайдені значення і в загальне рішення:

це і буде рішення задачі Коші.

Знайти фундаментальну систему рішень: