Періодичні десяткові дроби

Пам'ятайте, як в самому першому уроці про десяткові дроби я говорив, що існують числові дроби, що не представимо у вигляді десяткових (див. Урок «Десяткові дроби»)? Ми ще вчилися розкладати знаменники дробів на множники, щоб перевірити, чи немає там чисел, відмінних від 2 і 5.

Так ось: я набрехав. І сьогодні ми навчимося переводити абсолютно будь-яку числову дріб в десяткову. Заодно познайомимося з цілим класом дробів з нескінченної значущою частиною.

Періодична десяткова дріб - це будь-яка десяткова дріб, у якої:

1. Значуща частина складається з нескінченної кількості цифр;
2. Через певні інтервали цифри в значущої частини повторюються.

Набір цифр, що повторюються, з яких складається значуща частина, називається періодичною частиною дробу, а кількість цифр в цьому наборі - періодом дробу. Решта відрізок значущої частини, який не повторюється, називається неперіодичної частиною.

Оскільки визначень багато, варто докладно розглянути кілька таких дробів:

Ця дріб зустрічається в завданнях найчастіше. Неперіодичних частину: 0; періодична частина: 3; довжина періоду: 1.

Неперіодичних частину: 0,58; періодична частина: 3; довжина періоду: знову 1.

Неперіодичних частину: 1; періодична частина: 54; довжина періоду: 2.

Неперіодичних частину: 0; періодична частина: 641025; довжина періоду: 6. Для зручності повторювані частини відділені одна від одної пропуском - в цьому рішенні так робити не обов'язково.

Неперіодичних частину: 3066; періодична частина: 6; довжина періоду: 1.

Як бачите, визначення періодичної дробу засноване на понятті значущої частини числа. Тому якщо ви забули що це таке, рекомендую повторити - см. Урок «Множення і ділення десяткових дробів».

Перехід до періодичного десяткового дробу

Розглянемо звичайну дріб виду a / b. Розкладемо її знаменник на прості множники. Можливі два варіанти:

1. У розкладанні присутні тільки множники 2 і 5. Ці дробу легко приводяться до десятковим - см. Урок «Десяткові дроби». Такі нас не цікавлять;
2. У розкладанні є щось ще, крім 2 і 5. У цьому випадку дріб непредставима у вигляді десяткового, зате з неї можна зробити періодичну десяткову дріб.

Щоб задати періодичну десяткову дріб, треба знайти її періодичну і неперіодичних частину. Як? Переведіть дріб в неправильну, а потім розділіть чисельник на знаменник «куточком».

При цьому буде відбуватися наступне:

1. Спочатку розділиться ціла частина. якщо вона є;
2. Можливо, буде кілька чисел після десяткового дробу;
3. Через деякий час цифри почнуть повторюватися.

От і все! Повторювані цифри після десяткового дробу позначаємо періодичної частиною, а то, що стоїть попереду - неперіодичної.

Завдання. Переведіть звичайні дроби в періодичні десяткові:

Все дробу без цілої частини, тому просто ділимо чисельник на знаменник «куточком»:

Як бачимо, залишки повторюються. Запишемо дріб в «правильному» вигляді: 1,733. = 1,7 (3).

У підсумку виходить дріб: 0,5833. = 0,58 (3).

Записуємо в нормальному вигляді: 4,0909. = 4, (09).

Отримуємо дріб: 0,4141. = 0, (41).

Перехід від періодичного десяткового дробу до звичайної

Розглянемо періодичну десяткову дріб X = abc (a 1 b 1 c 1). Потрібно перевести її в класичну «двоповерхову». Для цього виконаємо чотири простих кроки:

1. Знайдіть період дробу, тобто підрахуйте, скільки цифр знаходиться в періодичній частини. Нехай це буде число k;
2. Знайдіть значення виразу X · 10 k. Це рівносильно зрушення десяткового дробу на повний період вправо - см. Урок «Множення і ділення десяткових дробів»;
3. З отриманого числа треба відняти початкове вираз. При цьому періодична частина «спалюється», і залишається звичайна дріб;
4. В отриманому рівнянні знайти X. Все десяткові дроби переводимо в звичайні.

Завдання. Наведіть до звичайної неправильного дробу числа:

Працюємо з першої дробом: X = 9, (6) = 9,666.

У дужках міститься лише одна цифра, тому період k = 1. Далі множимо цю дріб на 10 k = 10 +1 = 10. Маємо:

10 X = 10 · 9,6666. = 96,666.

Віднімаємо вихідну дріб і вирішуємо рівняння:

10 X - X = 96,666. - 9,666. = 96 - 9 = 87;
9 X = 87;
X = 87/9 = 29/3.

Тепер розберемося з другої дробом. Отже, X = 32, (39) = 32,393939.

Період k = 2, тому множимо всі на 10 k = 10 2 = 100:

100 X = 100 · 32,393939. = 3239,3939.

Знову віднімаємо вихідну дріб і вирішуємо рівняння:

100 X - X = 3239,3939. - 32,3939. = 3239 - 32 = 3207;
99 X = 3207;
X = 3207/99 = 1069/33.

Приступаємо до третьої дробу: X = 0,30 (5) = 0,30555. Схема та ж сама, тому я просто наведу викладки:

Період k = 1 ⇒ множимо всі на 10 k = 10 1 = 10;

10 X = 10 · 0,30555. = 3,05555.
10 X - X = 3,0555. - 0,305555. = 2,75 = 11/4;
9 X = 11/4;
X = (11/4). 9 = 11/36.

Нарешті, остання дріб: X = 0, (2475) = 0,2475 2475. Знову ж, для зручності періодичні частини відокремлені один від одного пробілами. маємо:

k = 4 ⇒ 10 k = 10 4 = 10 000;
10 000 X = 10 000 · 0,2475 2475 = 2475,2475.
10 000 X - X = 2475,2475. - 0,2475 2475. = 2475;
9999 X = 2475;
X = 2475. 9999 = 25/101.

1. порівняння дробів
2. Тест до уроку «Десяткові дроби» (2 варіант)
3. Комбінаторика в завданні B6: легкий тест
4. Що таке числова дріб
5. Рівняння площини в завданні C2. Частина 1: матриці і визначники
6. Вебінар за завданнями С1: тригонометрія

• Безкоштовна підготовка до ЄДІ 7 простих, але дуже корисних уроків + домашнє завдання
•