Перетворення тригонометричних виразів - студопедія

1º. На площині xOy розглянемо окружність з центром на початку координат і радіусом, рівним 1. На одиничному колі відзначимо точку A (1; 0). Радіус OA називають початковим радіусом. При повороті початкового радіуса на кут # 945; біля центру Про точка А (1; 0) перейде в деяку точку М (x; y). Зауважимо, що поворот можна здійснити по годинникової стрілки (кут повороту позитивний) або проти годинникової стрілки (кут повороту від'ємний).

косинусом кута # 945; називається абсциса точки М:.

синусом кута # 945; називається ордината точки М:.

тангенсом кута # 945; називається відношення ординати точки М до її абсциссе:.

котангенсом кута # 945; називається відношення абсциси точки М до її ординате:.

є тригонометричними функціями аргументу # 945 ;.

2º. Одиницями виміру величини кута є градус і радіан.

Якщо початковий радіус кола зробить один повний оборот, то вийде кут, рівний 360 # 730; або 2π радіан.

Зв'язок між градусної і радіанної заходами вимірювання кута: радий.

З цієї формули випливає:

а); б); в); г); д) і т.д.

3º. Властивості тригонометричних функцій:

Функції - непарні функції:

Функції - періодичні з найменшим періодом 2π:

Функції - періодичні з найменшим періодом π:

4º. Основне тригонометричну тотожність.

Згідно з теоремою Піфагора ( "в прямокутному трикутнику сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи") координати будь-якої точки М (x; y) одиничному колі задовольняють рівняння:. Звідси:

З цієї формули випливає:

5º. Основні співвідношення між тригонометричними функціями:

Приклад 34. Знайдіть. якщо.

Рішення: . За формулою (10.6). Так як # 945; знаходиться в 3-ій чверті, то і, отже,. Відповідь:.

Приклад 35. Обчислити значення виразу. якщо.

Рішення: Використовуємо формулу (10.10), а потім чисельник і знаменник дробу розділимо на. тоді:

Приклад 36. Довести тотожність:.

Рішення: Використовуючи формули (10.15), (10.16), отримаємо:

Приклад 37. Обчислити. якщо.

Рішення: Висловивши і через за формулами (10.22), (10.23), отримаємо:

Приклад 38. Спростити вираз:.

Рішення: Скористаємося властивостями парності і непарності тригонометричних функцій, а також виділимо період в аргументі функцій і виключимо його, спираючись на властивість періодичності функцій:

Далі використовуємо формули приведення:

Приклад 39. Знайти.

Рішення: Скористаємося формулою приведення і визначенням котангенс:

Оскільки кут знаходиться в 4-ій чверті. то. отримуємо: