Перетворення суми (різниці) синусів двох кутів в твір

Перетворення суми (різниці) синусів двох кутів в твір.

sin α • cos β = 1/2 [sin (α + β) + sin (α - β)] (1)

Ця формула вірна для будь-яких значень α і β. Нехай α і β такі, що
α + β = х. α - β = у. Тоді α і β знайдуться як рішення системи рівнянь

Складаючи ці рівняння почленно, отримуємо 2α = х + у. Віднімаючи ці рівняння почленно, отримуємо 2β = х - у. Тому

Втакому випадку тотожність (1) можна переписати у вигляді:

Сума синусів двох кутів дорівнює подвоєному добутку синуса напівсуми на косинус Полуразность цих кутів.

Замінюючи у формулі (2) у на - у і з огляду на, що sin (- у) = - sin у. отримуємо:

Різниця синусів двох кутів дорівнює подвоєному добутку синуса полуразность на косинус напівсуми цих кутів.

1) Суму sin 75 ° + sin 15 ° легко обчислити без таблиць, якщо використовувати формулу (2):

2) Різниця sin5π / 12 - sin π / 12 легко обчислити без таблиць, якщо використовувати формулу (3):

1. Обчислити без таблиць, використовуючи формули для суми і різниці синусів двох кутів:

а). sin 105 ° + sin 75 °.

б). sin 105 ° - sin 75 °.

2. Спростити дані вирази:

3. Довести тотожності:

використовуючи формули для суми і різниці синусів двох кутів.

4. Дані вирази представити у вигляді творів:

5. Довести, що синуси кутів α і β рівні тоді і тільки тоді, коли

де n - деяке ціле число.