перетворення подібності

5. Якщо ми виберемо довільні множники для так, що

то співвідношення (4.8) і (5.1) будуть означати, що матриця має своїм рядком, обернена матриці X, у якій стовпець є Все систем рівнянь

можуть бути записані в матричної формі

Ми тільки що встановили, що зворотна матриця до матриці X існує дорівнює Рівняння (5.3), отже, дає

Перетворення матриці А, де неособлива, грає фундаментальну роль як з теоретичної, так і з практичної точки зору, і воно відомо як перетворення подібності, а матриці називаються подібними. Очевидно, що і також є перетворенням подібності А. Ми показали, що якщо власні значення матриці А різні, то існує перетворення подібності, яке призводить матрицю А до діагональної формі, і що стовпці матриці перетворення рівні власним векторах А. З іншого боку, якщо ми маємо

Останнє рівняння означає, що числа - це власні значення розташовані в деякому порядку, а стовпець це власний вектор, що відповідає

Власні значення матриці інваріантні при перетворенні подібності. Дійсно, якщо

Таким чином, власні значення збереглися, а власні вектори примножилися на

Багато чисельні методи знаходження власних значень і власних векторів матриці по суті складаються в знаходженні перетворення подібності, яке призводить матрицю А загального вигляду до матриці В спеціального виду, для якої проблема власних значень може бути вирішена більш просто.

Перетворення подібності транзитивно, саме, якщо

Приведення матриці загального вигляду до однієї зі спеціальних форм буде, взагалі кажучи, здійснюватися за допомогою послідовності простих перетворень подібності.