Перерахуйте основні властивості функції щільності ймовірності
- f (x)
- у всіх точках, де ф-ція щільності неперервна вип. рівність
Пояснимо сенс назв. «Щільність вероят-ти»
по т. про повну загальну середню інтеграл, стоящ. в прав. частини, дорівнює. де деяка точка з інт. .
Уявімо собі, що інт. . Стяг. до деякої точці. причому в цій точці функція f (x) неперервна. Тоді буде прагнути до числа f (), і ми отримаємо:
Ставлення, що стоїть під знаком межі, є свого роду «вер-ть на од-цу довжини» інтервалу. Межа цього відношення розглянемо як щільність ймовірності в самій т.. У всякій т.. де f (x) непрер. число f (x) совп. з понимю-й щільністю вер-ти в т.. Що й потрібно було довести.
75. Показовий закон.
Випадкова величина Х, яка бере тільки невід'ємні значення, розподілена по показовому закону, якщо для деякого параметра # 955;> 0 функція щільності має вигляд:
f (x) = # 955; e - # 955; x. x≥0
Графік функції щільності
Функцію розподілу знайдемо за формулою
Підставляючи вираз для функції щільності, отримаємо
F (x) = S x 0 # 955; e - # 955; t dt = -e - # 955; t 0 1 = 1 e - # 955; x. x≥0
76. Як визначається рівномірний закон розподілу на відрізку [a, b]? Вкажіть формулу для функції щільності f (x), знайдіть відповідну функцію розподілу F (x) і побудуйте графіки функції f (x) F (x).
Скажімо, що випадкова величина X. зосереджена на відрізку [a, b], рівномірно розподілена на цьому відрізку, якщо її функція щільності дорівнює константі:
Значення постійної з визначається з умови:
Зв'язок між функцією розподілу і щільністю ймовірності дається форму-лій
Підставляючи сюди функцію f (t), отримаємо:
77. Чи можливо рівномірний розподіл на всій числовій осі? Чому дорівнює ймовірність Р (c Безперервна СВ Х має рівномірний закон розподілу на всій числовій осі, якщо її щільність ймовірності f (x) постійна на всій числовій осі, тобто f (x) = const. 78. Як визначається нормальний закон розподілу на прямий? Вкажіть формулу для функції щільності f (x). знайдіть відповідну функцію розподілу F (x) і приведіть формулу для обчислення ймовірності P (# 945; ≤ X ≤ # 946; ). Ми говоримо, що безперервна випадкова величина Х підпорядковується нормальному закону розподілу, якщо вона має щільність ймовірності наступного спеціального виду: А, і а - постійні, причому А> 0,> 0. Стандартна запис функції щільності нормального закону розподілу. Знайдемо функцію розподілу нормальної випадкової величини. Замінимо на z. Отримаємо. де є функція Лапласа. Таким чином, функція розподілу нормальної випадкової величини: 79. Запишіть щільність розподілу нормальної випадкової величини x, для якої М (x) = m, D (x) = # 948; 2. Як зміниться графік щільності розподілу, якщо: а) збільшиться m, б) збільшиться # 948 ;? а) відомо, що графіки функцій f (x) і f (x-a) мають однакову форму: зсунувши графік f (x) в позитивному напрямку осі x на а одиниць масштабу при а<0 получим график f(x-a). Отсюда следует, что изменение величины параметра m (математического ожидания) не изменяет формы нормальной кривой, а приводит лишь к её сдвигу вдоль оси Ох. При увеличении m график плотности сдвинется вправо.
2) Досліджуємо функцію на екстремум.
При x = m функція має максимум
Із зростанням # 948; максимальна ордината нормальної кривої зменшується, а сама крива стає більш пологою, тобто стискається до осі Ох.
Як обчислюється математичне сподівання в разі розподілу з щільністю f (x)? Чи може для будь-якої абсолютно неперервної випадкової величини не існувало математичного очікування? Відповідь обґрунтуйте.
Математичне сподівання абсолютно безперервної СВ Х з функцією щільності f (x) визначається рівністю: М (Х) = інтеграл xf (x) dx від мінус беск до плюс беск
Мат. очікуванням випадкової величини Е називається число. Якщо Показаний праворуч межа не існує, то мат. очікування величини х також вважається неіснуючим.
Якщо дискретна випадкова величина Х приймає рахункове безліч можливих значень, то. причому мат. очікування існує, якщо ряд у правій частині рівності сходиться абсолютно. Оскільки ряд може і розходитися, то соотв. випадкова величина може і не мати мат. очікування. На практиці, як правило, безліч можливих значень випадкової величини поширюється лише на обмежену ділянку осі абсцис і, отже, мат. очікування існує.
81. Як обчислюється дисперсія в разі розподілу з щільністю f (x)? Доведіть, що для випадкової величини X з щільністю дисперсія D (X) не існує, а математичне сподівання M (X) існує.