Особливості рішення задач на рівномірний прямолінійний рух

З пунктів A і B. відстань між якими AB = 100 км, одночасно назустріч один одному виїжджають два велосипедисти.

Перший велосипедист рухається зі швидкістю 30 км / ч. Швидкість другого велосипедиста, відповідно, дорівнює 20 км / год.

У той момент, коли велосипедисти виїхали зі своїх пунктів, з пункту A в пункт B вибігла собака. Швидкість собаки 35 км / год. Собака біжить в напрямку пункту B. але як тільки вона зустрічає велосипедиста B. вона повертає й біжить назад в пункт A. Зустрівши в шляху велосипедиста A. собака знову повертає і біжить в напрямку пункту B. Зустрівши велосипедиста B. вона знову повертає і біжить в пункт A. І так вона бігає між велосипедистами, поки вони не зустрінуться.

Який шлях L пробіжить собака?

Типовий підхід до вирішення цього завдання такий: оскільки собака біжить по досить складній траєкторії, спочатку виникає бажання шукати саме довжину цієї траєкторії.

Це можна зробити так: знайти довжини відрізків, пробігаємо собакою в одному напрямку, і скласти їх. Отримаємо шуканий результат.

Рішення досить довге, але, тим не менш, дуже багато вирішальні намагаються йти саме цим шляхом.

Однак давайте з'ясуємо, що в цьому завданні є найістотнішим, і спробуємо сутність завдання відобразити у вигляді рівняння.

Очевидно, що собака і велосипедисти виїхали зі своїх пунктів в один і той же час. Припинилося це рух також в один і той же час.

Ймовірно, час, який витратила собака на свій рух, так само часу, яке витратили велосипедисти, рухаючись зі своїх пунктів до моменту зустрічі: δ t з = δ t в.

Це і є головне рівняння, що описує даний процес. Назвемо це рівняння ключовим рівнянням. Воно дійсно є ключем, який дозволяє вирішити задачу, відмовившись від нераціонального і довгого шляху.

Далі нам тільки слід записати, чому дорівнює час руху собаки і велосипедистів. І те, і інше рух є рівномірним і описується найпростішим рівнянням, яке випливає з визначального рівняння швидкості рівномірного руху.

Швидкість визначається відношенням шляху, пройденого тілом, до часу, протягом якого цей шлях пройдено:

Таким чином, час руху собаки визначається з даного рівняння ставленням пройденого шляху до швидкості її руху.

Час руху велосипедистів, відповідно, ставленням шляху, який вони проїхали, до їх відносної швидкості:

Велосипедисти зближуються зі швидкістю υотн = υ1 + υ2. рівній сумі їх швидкостей, і при цьому проходять шлях AB. що дорівнює відстані між пунктами, з яких вони вирушили.

Підставивши записані рівняння в ключове рівняння, отримуємо рівняння, яке дозволяє нам знайти відповідь на питання завдання.

Отже, велосипедисти зближуються зі швидкістю 50 км / год, отже, в дорозі вони знаходяться дві години. Протягом двох годин бігає і собака зі швидкістю 35 км / ч. Таким чином, вона пробігає шлях, рівний 70 кілометрам.

Записане ключове рівняння дозволило нам майже в розумі вирішити конкретну задачу. Однак, наведені міркування вимагають більш суворого оформлення. Наведемо можливий варіант такого оформлення рішення задачі.

Систему відліку зв'яжемо з пунктом A. Почнемо відлік часу в момент початку руху велосипедистів і собаки. Координатну вісь направимо в бік пункту B.

Початкова координата першого велосипедиста дорівнює нулю.

Початкова координата другого велосипедиста - x 02.

Початкова координата собаки дорівнює нулю.

Кінцеві координати велосипедистів рівні один одному: x 1вел = x 2вел.

З урахуванням введених позначень запишемо рівняння руху велосипедистів і собаки:

Відзначимо, що якщо систему відліку пов'язати з одним з велосипедистів, наприклад, з велосипедистом, який виїхав з пункту A. то креслення до задачі буде простіше, а замість системи з двох рівнянь потрібно одне рівняння: 0 = x 02 - (υ1вел + υ2вел) # X2219; t вів.

Шлях, який пробігла собака, дорівнює: L = υсоб # X2219; t соб.

Час руху велосипедистів одно часу руху собаки: δ t вів = δ t соб = δ t.

Рівняння, назване вище ключовим, може бути застосоване до вирішення цілого класу задач, на перший погляд, зовсім не схожих на щойно розглянуту.

Приклад 2 Завдання про втрачену капелюсі

Проти течії річки пливе човен. Пропливаючи під мостом, човняр втрачає капелюх і продовжує гребти далі. Через 10 хвилин після втрати човняр повертає і пливе навздогін за своїм капелюхом. Капелюх він знаходить на відстані 1 кілометра від мосту нижче за течією річки.

Чому дорівнює швидкість річки?

Як і в попередньому випадку, навряд чи слід очікувати, що завдання буде вирішуватися за допомогою рівняння більш складного, ніж

Справа в тому, що річка тече з постійною швидкістю, човняр проти течії рухається з постійною швидкістю, за течією його швидкість також постійна.

Складність завдання полягає в тому, що потрібно визначити швидкість річки, але не зрозуміло, що прийняти в якості шляху і як часу.

За умовою завдання нам відомий якийсь шлях, віднесений до одній ділянці річки, і деякий час, віднесене до іншого ділянці річки. Зрозуміло, що прямо скористатися цими даними складно.

Перш ніж рухатися далі, відзначимо, що рішення будь-яких стандартних завдань можна звести всього лише до двох підходів.

Перший підхід полягає в тому, що ми намагаємося вести міркування в напрямку від шуканої величини до величинам відомим.

Таким чином, розмірковуючи в цьому напрямку, першим ми повинні записати рівняння, в яке входить шукана величина.

Якщо відразу вдасться висловити шукану величину через відомі величини, то можна вважати, що завдання виконане.

Якщо не вдасться, потрібно величини, що стоять в правій частині рівняння, висловити через інші величини. І так поступати до тих пір, поки ми не прийдемо до заданих або принципово відомим, наприклад, табличним, величинам.

Як видно, цей шлях в даному випадку не дозволяє просунутися у вирішенні завдання.

Є й інший підхід до вирішення завдання.

Незалежно від заданих і шуканих величин, записується рівняння, що є ключовим для даного завдання.

Ключові рівняння дуже часто є спільними для самих різних завдань, навіть відносяться до різних розділів курсу фізики.

Якщо ми підемо цим шляхом, то нам необхідно згадати, чи не було в нашому минулому досвіді таких завдань, які відкривалися тим же самим ключем.

Використовуємо поки єдиний, який є в нашому розпорядженні ключ, який відкрив попередню задачу.

У задачі про бігає між велосипедистами собаці ми записали, що у свій час так само якомусь іншому часі. Очевидно, що це ж рівняння можна записати і для даного сюжету: δ t 1 = δ t 2.

Подальші міркування будемо проводити щодо системи відліку, пов'язаної з берегом річки.

Почнемо відраховувати час від моменту втрати капелюхи. Закінчимо відлік в момент, коли човняр підняв капелюх.

Проміжки часу, протягом яких капелюх пливла за течією річки, і плавав човняр, спочатку проти течії річки, а потім за течією, дорівнюють один одному: δ t шл = δ t л.

Час руху капелюхи дорівнює відношенню шляху d до швидкості, з якою вона пливла - (швидкості річки):

Час руху човняра складається з його часу руху проти течії і часу руху за течією річки: δ t л = δ t 0 + δ t по т.

Час руху човна за течією дорівнює відношенню відстані від точки повороту до точки підйому капелюхи: де L - відстань від моста до точки повороту човна.

Човен рухалася від моста до повороту протягом часу зі швидкістю, що дорівнює різниці швидкостей човни і річки, отже: L = (υл - υр) # X2219; δ t 0.

Підставивши останній вираз в попереднє, отримуємо:

Як видно, ми прийшли до досить складного рівняння. Вирішити його можна, застосовуючи відомі в математиці методи. В порядку тренування це можна перевірити самостійно. Ми ж запишемо кінцеву відповідь:

Відповідь для швидкості річки виражений через відомі величини. Підставивши їх числові значення, можна отримати шуканий результат.

Вирішимо задачу ще раз, провівши міркування щодо системи відліку, пов'язаної з капелюхом. Як і раніше, почнемо відраховувати час від моменту втрати капелюхи. Закінчимо відлік часу в момент, коли човняр підняв капелюх

Щодо цієї системи відліку швидкість човна і проти течії, і за течією річки однакова і дорівнює її швидкості в стоячій воді. Отже, так само і час руху човна від моменту втрати капелюхи до повороту і від повороту до моменту підйому капелюхи. Отже, якщо час руху човняра проти течії річки дорівнює δ t 0. то його загальний час руху дорівнює 2 # X2219; δ t 0. Час руху капелюхи також дорівнює 2 # X2219; δ t 0. За цей час капелюх, рухаючись зі швидкістю течії річки, пропливла відстань d. Отже, швидкість течії річки дорівнює:

Як видно, рішення задачі в багато разів коротше, ніж попереднє, не вимагає складних математичних перетворень, використовує той же самий ключ.

Думка про те, що раціональне, коротке рішення було проведено в рухомій системі відліку, нам ще потрібно при вирішенні інших завдань. Запам'ятаємо це.

Якщо ж мова йде про оформлення рішення, то, як і в попередньому випадку, воно для звичної системи відліку, пов'язаної з Землею, може виглядати наступним чином.

Зв'яжемо точку відліку з мостом. Почнемо відлік часу в момент втрати човнярем капелюхи. Закінчимо відлік часу в момент підйому капелюхи. Координатну вісь направимо за течією річки. У вибраній системі відліку запишемо рівняння руху човна і капелюхи.