Основні поняття і визначення первинні поняття досвід (експеримент)
Основні поняття і визначення
первинні поняття
Досвід (експеримент)
Одним з найважливіших етапів в побудові математичної моделі випадкового об'єкта або процесу є його опис в первинних термінах. У теорії ймовірностей прийнято називати це опис описом досвіду або експерименту. Основним в цьому описі є визначення елементарного результату досвіду. Головні труднощі при побудові математичної моделі полягає в тому, що одному випадковому явищу можна зіставити безліч різних описів у вигляді досвіду і, відповідно, різних варіантів елементарних фіналів.
елементарний результат
Елементарний результат є первинним поняттям, і пояснити його можна тільки на прикладі. Елементарний результат є найменшої неподільної одиницею опису досвіду, найдрібніших випадковою подією. Передбачається, що у одного досвіду одночасно не може відбутися два різних елементарних результату. наприклад,
1. Досвід: кидання монети
Елементарні результати: герб, решка - всього два різних результату
2. Досвід: кидання гральної кістки
Елементарні результати, 1 варіант: число очок на верхній грані -6 результатів
Елементарні результати, 2 варіант: випала парна або непарна грань -2 результату
3.Досвід: кидання двох гральних кісток
3.1 Елементарні наслідки, 1 варіант: випало в сумі 6 очок або дня не випало -2 результату
3.2 Елементарні наслідки, 2 варіант: випало в сумі 7 очок або дня не випало -2 результату
3.3 Елементарні наслідки, 3 варіант: сума випали очок - 11 випадків
3.4 Елементарні наслідки, 4 варіант: числа очок на кістках без розрізнення гральних кісток [,,,,,,,,,,, ...] - 21 результат
3.5 Елементарні наслідки, 5 варіант: числа очок на кістках без c розрізненням гральних кісток [(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1, 6), (2,1), (2,2), ...] -36 результатів
Простір елементарних фіналів
Потужність безлічі вимірюється не в кінських силах, а в кардинальних числах. Бувають безлічі з кінцевої, лічильної, континуум потужністю і навіть більше. Якщо елементи безлічі можна перерахувати, але воно не кінцеве, то воно рахункове.
Безліч елементарних фіналів досвіду в теорії ймовірностей називається простором елементарних фіналів. Елементарні результати є елементами (точками) цієї множини. У попередніх прикладах видно, що одному реального досвіду можна зіставити кілька описів простору елементарних фіналів. Таким чином, для опису експериментів в якості первинних математичних понять використовуються безлічі. У своїй загальній частині теорія ймовірностей не використовує ніяких специфічних властивостей елементарних фіналів і множин, крім числа елементів в них або їх потужності. Тому будь-які два простору елементарних фіналів з однаковим числом елементів або однаковою потужністю з точки зору теорії ймовірностей еквівалентні. Наприклад, в досвіді з киданням монети ми можемо вибрати в якості результатів слова "герб" і "решка" або числа "0" і "1". Позначається простір елементарних фіналів зазвичай так:
а сам елементарний результат так
Можна записати відношення між простором елементарних фіналів і елементарними наслідками так
Поради щодо побудови простору елементарних фіналів.
Майте на увазі завдання, яку ви хочете вирішити - то випадкова подія, ймовірність якого вам необхідно знайти, повинно описуватися за допомогою вказівки елементарних фіналів, що призводять до цієї події.
На перших порах намагайтеся вводити найбільш детальний опис досвіду, - потім почнете розуміти, в яких випадках можна, без шкоди для кінцевого результату, спростити модель.
Між різними відповідними моделями краще виглядає модель, в якій елементарні результати симетричні і різновірогідні.
Дуже зручно вибирати елементарні результати у вигляді векторів, розмірність яких дорівнює кількості різних випадкових чинників (джерел) у випадковому явище, а координати яких відповідають різним варіантам значень цих факторів. Наприклад, при киданні двох кісток елементарний результат має розмірність 2 і кожна координата 6 значень. При одночасному киданні монети і кістки вектор має розмірність 2, перша координата 2 значення, друга - 6 (або навпаки). Якщо кидаємо 10 монет, то в якості простору елементарних фіналів можна взяти безліч різних двійкових векторів розмірності 10 з нулів і одиниць.
визначення
підмножини
Якщо простір елементарних фіналів визначено, то з'являється можливість описати будь-яку подію, що відбулася у досвіді, просто вказавши, які елементарні результати йому відповідають.
Прімер.3.5 Елементарні наслідки, 5 варіант: числа очок на кістках без розрізнення гральних кісток [(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1 , 6), (2,1), (2,2), ...] -36 результатів.
Елементарний результат можна представити у вигляді
де i - число очок на першій кістки, j - другий кістки.
Тоді подія «на двох кістках випало в сумі 7 очок» можна представити у вигляді наступного підмножини елементарних фіналів:
Зауважимо, що порядок перерахування елементарних фіналів може бути довільним. Надалі підмножини простору елементарних фіналів будемо позначати великими латинськими літерами A, B, C ...
Пусте підмножина позначимо
Так як пусте підмножина не містить ніяких елементарних фіналів, в теорії ймовірностей воно означає неможлива подія.
Безліч всіх елементарних подій називається, природно, достовірна подія.
Елементарний результат як випадкова подія є найпростіше одноточечное підмножина.
Операції над підмножинами
Стандартні операції над підмножинами, природно, застосовуються в теорії ймовірностей і мають вірогідну інтерпретацію.
доповнення
Доповнення до підмножини A - це підмножина
т. е. доповненням до A є підмножина, що включає в себе всі елементарні результати, що не містяться в A. З точки зору теорії ймовірностей підмножина A представляє подія, яка природно назвати заперечення A або НЕ-A. Тобто A в досвіді не відбулося ( «не настав»).
об'єднання
Об'єднанням двох підмножин A і B є підмножина
Відповідно і інтерпретація. відбулося або A або B.
перетин
Перетином двох підмножин. A і B є підмножина
Відповідно і інтерпретація. і A і B відбулися одночасно.
Різницею двох підмножин A і B є підмножина
Відповідно і інтерпретація. A сталося, B - немає.
симетрична різниця
Симетричною різницею двох підмножин A і B є підмножина
Відповідно і інтерпретація. відбулося тільки одне з цих двох подій.
Кількість елементів в підмножині
Якщо кількість елементів в підмножині A звичайно, то будемо позначати його так
Відносини між підмножинами
Підмножина У вкладено в підмножина A, якщо будь-який елементарний результат, що міститься в B також міститься і в A.
Стрілкою будемо користуватися також і для тверджень типу: "з A слід B" у формулюваннях визначень і теорем
Тобто, якщо сталося B, то сталося і A.
несумісні
Підмножини A і B називаються несумісними (непересічними), якщо вони не містять загальних елементарних фіналів.
У теорії ймовірностей це означає, що A і B одночасно відбутися не можуть.
протилежність
Підмножини A і B називаються протилежними або додатковими один до одного, якщо вони несумісні і їх об'єднання достовірно.
У теорії ймовірностей це означає, що в досвіді обов'язково станеться одне і тільки одне з цих подій.
Для доказу рівності двох підмножин A і B досить показати, що A вкладено в B, і що B вкладено в A
Наступні формули дозволяють виразити одні операції з підмножинами через інші. Докази проведіть самі.
Повна група підмножин
Повної групою підмножин називається кінцевий набір або рахункова послідовність попарно несумісних підмножин об'єднання яких достовірно:
Під час експерименту обов'язково станеться одне і тільки одне з цих подій.
Будь-які два протилежних підмножини утворюють повну групу підмножин.
Якщо простір елементарних фіналів звичайно або лічильно, то самі елементарні результати є повною групою підмножин.
Алгебра і сигма-алгебра
При побудові математичної моделі випадкового об'єкта необхідно не тільки вказати всі можливі елементарні результати досвіду, а й визначити (перерахувати) всі можливі події, які можуть статися в цьому досвіді. Прийнято наступне визначення:
Алгебра подій A це набір підмножин простору елементарних фіналів для якого виконуються наступні умови:
Сигма - алгебра подій F це набір підмножин простору елементарних фіналів для якого виконуються наступні умови:
і для будь-якої лічильної послідовності
Очевидно, що будь-яка сигма-алгебра є алгеброю, але не навпаки.
Колмогоров показав, що природною математичною моделлю для безлічі подій є сигма-алгебра.
Очевидним прикладом сигма-алгебри є набір всіх підмножин простору елементарних фіналів - це найбільша сигма-алгебра, можлива на даному просторі елементарних фіналів.
Найменша (тривіальна) сигма-алгебра це наступний набір підмножин
Якщо алгебра або сигма-алгебра містить подія A. то вона повинна містити і заперечення A. Тому мінімальне число підмножин в нетривіальною сигма-алгебри дорівнює 4.
Алгебри і сигма-алгебри позначаємо жирними похилими латинськими буквами.
випадкові події
Елемент сигма-алгебри в подальшому будемо називати випадковим подією.
Повна група подій
Повна група подій це повна група підмножин, кожне з яких є подією. Кажуть, що події повної групи це розбиття простору елементарних фіналів.
Звичайно-адитивна функція
Нехай A- алгебра. Функція . відображає алгебру в безліч дійсних чисел
називається звичайно-адитивної, якщо для будь-якого кінцевого набору попарно несумісних подій
Лічильно-адитивна функція
Нехай F - алгебра або сигма-алгебра. функція
називається лічильно-адитивної, якщо вона звичайно-аддитивна і для будь-якого рахункового набору попарно несумісних подій
Міра - це невід'ємна лічильно-адитивна функція, певна на сигма-алгебри, яка задовольнить умові
Кінцева міра
Міра називається кінцевої, якщо
імовірність
Імовірність (імовірнісна міра) P це міра така. що
З цього моменту ми перестанемо вимірювати ймовірність в процентах і почнемо вимірювати її дійсними числами від 0 до 1.
Коли ви пишете P завжди уявляйте собі, який простір елементарних фіналів і сигма-алгебра маються на увазі. Тоді ви зможете уникнути багатьох помилок
Позначення P (Probability) для ймовірності є стандартним, не варто тільки забувати, що сама по собі (без визначення простору елементарних фіналів і сигма-алгебри) ймовірність не визначена.
називають ймовірністю події A
імовірнісний простір
Імовірнісний простір це сукупність трьох об'єктів - простору елементарних фіналів, сигма-алгебри подій і ймовірності.
Це і є математична модель випадкового явища або об'єкта.
Парадокс визначення ймовірного простору
Повернемося до вихідної постановці завдання теорії ймовірностей. Нашою метою була побудова математичної моделі випадкового явища, яка допомогла б кількісно оцінити ймовірності випадкових подій. У той же час для побудови імовірнісного простору необхідно задати ймовірність, тобто начебто саме те, що ми шукаємо (?).
Дозвіл цього парадоксу в тому, що для повного визначення ймовірності як функції на всіх елементах F, зазвичай досить задати її на лише на деякі події з F, ймовірність яких нам легко визначити, а потім, користуючись її лічильної аддитивностью, обчислити на будь-якому елементі F.
незалежні події
Важливим поняттям теорії ймовірностей є незалежність.
Події A і B називаються незалежними, якщо
тобто ймовірність одночасного здійснення цих подій дорівнює добутку їх ймовірностей.
Події в рахунковому або кінцевому наборі називаються незалежними попарно, якщо будь-яка пара з них є парою незалежних подій
В сукупності
Події в рахунковому або кінцевому наборі називаються незалежними в сукупності. якщо ймовірність одночасного здійснення будь-якого кінцевого поднабора з них дорівнює добутку ймовірностей подій цього поднабора.
Ясно, що незалежні в сукупності події незалежні і попарно. Зворотне невірно.
умовна ймовірність
Умовною ймовірністю події A за умови, що відбулася подія B називається величина
Умовну ймовірність поки визначимо лише для подій B, ймовірність яких не дорівнює нулю.
Якщо події A і B незалежні, то
Властивості і теореми
Найпростіші властивості ймовірності
Слід з того, що А і не-А протилежні і властивості кінцевої аддитивности ймовірності
Випадкові події, алгебра подій. Класичне визначення ймовірності. Застосування елементів комбінаторики до знаходження ймовірності. Геометричні ймовірності.
Імовірнісний простір як математична модель експерименту з випадковими наслідками. Частота події, її властивості. Стійкість частот реальних випадкових подій.
Будемо розглядати експеримент, який закінчується одним з багатьох випадків. Ми можемо описати всі можливі наслідки, але яким саме результатом закінчиться експеримент, заздалегідь ми сказати не можемо.
Теорія ймовірностей - наука про закономірності масових випадкових явищ (Лаплас, Пуассон, Гаусс, Бернуллі, П. Л. Чебишев, А.М. Ляпунов, А.А.Марков, А.Н.
При цьому той чи інший результат досвіду може бути отриманий з різним ступенем можливості. Тобто в деяких випадках можна сказати, що одна подія відбудеться практично напевно, інше практично ніколи.
Відповідь на це питання корисний з такої точки зору. Нехай нам відомі розподілу незалежних випадкових величин X1, X2, ..., Xn. Як знайти розподіл суми X1 + ... + Xn?