Оператор - математична енциклопедія - енциклопедії & словники

- відображення одного безлічі на інше, кожне з яких брало наділене деякої структурою (алгебраїч. операціями, топологією, відношенням порядку). Загальне визначення О. збігається з визначенням відображення або функції: нехай Xі Y - два безлічі; оператором Аиз безлічі Xво безліч Yназ. правило або відповідність, до-рої кожному елементу хиз деякого підмножини зіставляє однозначно певний елемент; безліч Dназ. областю визначення оператора A і позначається D (А); безліч,> зв. областю значень оператора A і позначається R (A). Часто пишуть Ах замість (х). Термін "О." використовується найчастіше в разі, коли Xі Y - векторні простори. Якщо A - оператор з Xв Y, де Y = Х, то аназа. оператором в X. Якщо D (A) = X, то аназа. всюди певним оператором. Якщо A1. Aa - оператори з X1 в Y1 н з Х 2 в Y2 з областями

визначення D (A1) .і D (A2) відповідно і такі, що i і A1 x = A2 x при всіх. то при X1 = Х 2. Y1 = Y2 оператор А 1 називається звуження, або обмеженням, оператора А 2. а оператор A2 - розширенням оператора A1; при, А 2 називається розширенням оператора A1 з виходом з Х 1.

Багато рівняння в функціональних або абстрактних просторах можна представити у вигляді Ах-у, де. . у - заданий, х - невідомий, А - оператор з Xв Y. Твердження про існування рішення такого рівняння при будь-правій частині рівносильно твердженням, що область значенні оператора Аесть весь простір Y; твердження, що рівняння (х) = у має при будь-якому єдине рішення, означає, що Авзаімно однозначно відображає D (А) .на R (А).

Якщо Xі Y - векторні простори, то в множині всіх О. з Xв Y можна виділити клас лінійних операторів, решта О. з Xв Y зв. нелінійними операторами. Якщо Xі Y - топологічні векторні простори, то в безлічі 0. з X в Y природно виділяється клас неперервних операторів, а також клас обмежених лінійних операторів A (таких операторів А, що образ будь-якого обмеженого безлічі в Xогранічен в У) і клас лінійних компактних операторів (т. е. таких О. що образ будь-якого обмеженого безлічі в Xпредкомпактен в Y). Якщо X і Y - локально опуклі простору, то в Xі Y природно розглядати різні тоцологіі; О. зв. напівбеззупинним, якщо він визначає безперервне відображення простору X (в вихідної топології) в простір Y в слабкій топології (поняття напівбезперервна використовується головним чином в теорії нелінійних О.); О. зв. посилено безперервним, якщо він безперервний як відображення простору Xв обмежено слабкою топології в простір У; О. зв. слабо безперервним, якщо він визначає безперервне відображення X в Y, де X і Y наділені слабкою топологією. Часто компактні О. зв. цілком безперервними. Іноді термін "цілком безперервний О." використовується замість терміна "посилено безперервний О." або для позначення О. переводить будь-яку слабо сходиться послідовність в сильно сходящуюся; якщо Xі Y - рефлексивні банахови простору, то ці умови еквівалентні компактності О. Якщо О. посилено Безперервний або компактний, то він безперервний; якщо О. безперервний, то він слабо безперервний.

Графіком оператора аназа. безліч. певне співвідношенням

Нехай X і Y - топологічні векторні простори; оператор Аиз Xв Y зв. замкнутим оператором, якщо його графік замкнутий. Поняття замкнутого О. особливо плідно в разі лінійних О. з щільною областю визначення.

Поняття графіка дозволяє узагальнити поняття О. багатозначним оператором з X в Y зв. будь-яка підмножина Ав X x Y; якщо X і Y - векторні простори, то багатозначним лінійним О. зв. лінійне підпростір X x Y; областю визначення багатозначного О. зв. безліч

D (А) = X: існує такий, що у> А>.

Якщо X - векторний простір над полем kи Y = k. то всюди певний О. з Xв kназ. функціоналом на X.

Якщо Х і Y - локально опуклі простору, то оператор A з X в Y з щільною в X областю визначення має пов'язаний оператор А * з щільною в Y * в ослабленій топології областю визначення тоді і тільки тоді, коли А - замкнутий О.

Приклади операторів. 1) О. сопоставляющий будь-якого елементу елемент (нульовий оператор).

2) О. сопоставляющий будь-якого елементу цей же елемент (одиничний оператор в Xобозначается idX або 1X).

3) Нехай X - векторний простір функції на недо-ром безлічі М і f - функція на М; О. в X з областю визначення

діє за правилом

при (А), наз. оператором множення на функцію; А - лінійний О.

4) Нехай X - векторний простір функцій на безлічі Мі F - відображення безлічі Мв себе; О. в X з областю визначення

чинний але правилом

при (А), буде лінійним О.

5) Нехай X, Y - векторні простору дійсних вимірних функцій на просторах з мірою (М, SM. M) і (N, SN n) відповідно, К-функція на Mx Nx, вимірна відносно твори заходів mxnx m0> де m0 - міра Лебега на, і безперервна по при будь-яких фіксованих,; О. з Xв Y з областю визначення

існуючий для майже всіх і, що діє за правилом Aj = f при. наз. інтегральним оператором; якщо

6) Нехай X - векторний простір функцій на дифференцируемого різноманітті М, x - векторне нулі на М; оператор Ав X з областю визначення

D (А) =:. похідна Dxf функції f вздовж поля x визначена всюди і DxfX>, що діє за правилом Af = Dxf прі. наз. оператором диференціювання; A - лінійний О.

Див. Також `Оператор` в інших словниках

1. особа, яка здійснює будь-які операції; 2. в системах управління це узагальнене відображення залежності інформації, одержуваної на виході будь-якої ланки системи управління, від вихідних змінних, наявних на вході цієї ланки, і нормативно-довідкових даних.

- 1) людина, що працює на технічному пристрої, комп'ютері і виконує регламентований інструкціями набір дій, операцій; 2) юридична особа, яка вчиняє операції на біржі.

ОПЕРАТОРI а, м. Opérateur m. лат. operator. мед. Особа, яка провадить операцію; лікар хірург. БАС-1. Так зізнаюся тобі, що я до всіх лікарям єстиму і довіреність втратив і ніякого мати не хочу; а хочеться мені мати хорошого лікаря, доброго практика і іскусснаго оператора, якби такий попався, то б я дуже задоволений був. 1789. Васильчиков Сем. Розум. 1 409. Що стосується до оператора Паіоли, я не йому шукав добра, коли рекомендував його до двору. 1785. // АВ 9 24. У цю ж поїздку лікар Віліє, який перебував за великого князя Олександра Павловича, був помилкою завезений ямщик.

ОПЕРАТОР - .. 1) математичне поняття, що означає відповідність між елементами двох множин X і Y, відносить кожному елементу x з X певний елемент y з Y. Еквівалентний сенс мають терміни "відображення", "перетворення", "функція". Зазвичай термін "оператор" використовується, коли X і Y - множини з функціональних просторів 2)] В обчислювальній техніці - припис в даній мові програмування, призначене для завдання деякого завершеного дії в процесі переробки інформації на ЕОМ 3) В техніці - фахівець, керуючий з пульта роботою складного обладнання (пристрою), напр. ЕОМ, радіолокаційною станцією, буровою установкою 4) У кіно - фахівець, що виробляє кінозйомку, точніше - кінооператор.