Оцінка тісноти зв’язку коефіцієнт кореляції, індекс кореляції, коефіцієнти еластичності і

Головна | Про нас | Зворотній зв'язок

Поряд з побудовою рівняння регресії здійснюється оцінка тісноти зв'язку

між явищами (між змінними).

Тісноту зв'язку в разі лінійної залежності характеризують за допомогою

вибіркового коефіцієнта кореляції rxy

Вибірковий коефіцієнт кореляції rxy пов'язаний з коефіцієнтом лінійної регресії b співвідношенням

Чим ближче величина rxy до одиниці, тим тісніше лінійна зв'язок і тим краще лінійна залежність узгоджується з даними спостережень. При rxy = 1 зв'язок стає функціональної, т. Е. Співвідношення виконується для всіх спостережень.

При rxy> 0 зв'язок є прямою, при rxy <0 – обратной.

Рівняння нелінійної регресії, також як і в лінійній залежності доповнюється показником тісноти зв'язку між змінними. а саме індексом корреляцііR

Величина цього показника знаходиться в межах; чим ближче до одиниці, тим тісніше зв'язок розглянутих ознак, тим надійніше знайдене рівняння регресії.

В економічних дослідженнях широке застосування знаходить такий показник, як коефіцієнт еластичності, зокрема, середній коефіцієнт еластичності.

Середній коефіцієнт еластичності показує, на скільки відсотків в середньому по сукупності значень фактора х зміниться результат y від своєї середньої величини при зміні фактора x на 1%:

Для лінійної функції:

Сумарної мірою загальної якості рівняння регресії (відповідності рівняння

регресії зі статистичними даними) є коефіцієнт детермінації R 2.

У разі парної регресії коефіцієнт детермінації буде збігатися з квадратом коефіцієнта кореляції:

У загальному випадку коефіцієнт детермінації розраховується за формулою:

Пояснимо сенс коефіцієнта детермінації. Нехай емпіричне рівняння регресії має вигляд:

Тоді спостерігаються (реальні) значення уi. i = 1, 2, .... n, відрізняються від модельних yi на величину ei:

Останнє співвідношення можна переписати в наступному вигляді:

де - відхилення i -й (що спостерігається) точки від середнього значення залежної змінної Y;

- відхилення i-й точки на лінії регресії від;

- відхилення i -й точки від модельного значення. визначається по лінії регресії.

Всі відхилення розраховуються по осі залежною змінною (див. Рис. 3.3).

Зведемо обидві частини рівності (*) в квадрат і підсумуємо отримані значення за обсягом вибірки n:

Можна показати, що (доказ опускаємо для вправи). Тоді справедливо наступне співвідношення:

- загальна (повна) сума квадратів (може інтерпретуватися як міра загального розкиду (розсіювання) змінної Y відносно). (TSS)

- пояснена сума квадратів, що інтерпретується як міра розкиду, зрозумілого за допомогою регресії. (ESS)

- залишкова (непояснена) сума квадратів, що є мірою залишкового, непоясненого рівнянням регресії розкиду (розкиду точок навколо лінії регресії). (RSS)

Розділивши (3.13) на ліву його частину, отримаємо:

Вводячи позначення. отримуємо співвідношення (3.12). При цьому очевидно, що коефіцієнт детермінації R 2 визначає частку розкиду залежною змінною, зрозумілу регресією Y на X.

визначає частку розкиду залежною змінною, непояснених регресією Y на X.

З проведених міркувань випливає, що в загальному випадку справедливо співвідношення 0 ≤ R 2 ≤ 1.

Коефіцієнт детермінації R 2 є заходом, що дозволяє визначити, якою мірою знайдена пряма регресії дає кращий результат для пояснення поведінки залежною змінною Y, ніж горизонтальна пряма Y =.

Отже, чим тісніше лінійна зв'язок між Х і Y, тим ближче коефіцієнт детермінації R 2 до одиниці. Чим слабкіше такий зв'язок, тим R 2 ближче до нуля.