Обертальний рух навколо нерухомої осі

Рух твердого тіла, при якому дві його точки О і О 'залишаються нерухомими, називається обертальним рухом навколо нерухомої осі, а нерухому пряму ГО' називають віссю обертання.
Нехай абсолютно тверде тіло обертається навколо нерухомої осі ОО '(рис. 2.12).

Простежимо за деякою точкою М цього твердого тіла. За час dt точка М здійснює елементарне переміщення dr.
При тому ж самому куті повороту d φ, інша точка, віддалена від осі на більшу або меншу відстань, робить інше переміщення. Отже, ні саме переміщення деякої точки твердого тіла, ні перша похідна, ні друга похідна не можуть служити характеристикою руху всього твердого тіла.
За цей же час dt радіус-вектор, проведений з точки 0 'в точку М. повернеться на кут d φ. На такий же кут повернеться радіус-вектор будь-якої іншої точки (тому що тіло абсолютно тверде, в іншому випадку відстань між точками повинно змінитися).
Кут повороту d φ характеризує переміщення всього тіла за час dt.
Зручно ввести - вектор елементарного повороту тіла, чисельно рівний d φ і спрямований уздовж осі обертання ОО 'так, щоб, дивлячись вздовж вектора, ми бачили обертання за годинниковою стрілкою (напрямок вектора і напрямок обертання пов'язані «правилом свердлика»).
Елементарні повороти задовольняють звичайним правилом додавання векторів:

Кутовий швидкістю називається вектор, чисельно рівний першої похідної від кута повороту за часом і спрямований уздовж осі обертання в напрямку (і завжди спрямовані в одну сторону).

Якщо ω - const, то має місце рівномірне обертання тіла навколо нерухомої осі.

Нехай v - лінійна швидкість точки М. За проміжок часу dt точка М проходить шлях dr = vdt. У той же час dr = Rd φ (dφ - центральний кут). Тоді, можна отримати зв'язок лінійної швидкості і кутовий:

У векторній формі.
Вектор ортогонален до векторів і і спрямований в ту ж сторону, що і векторний добуток.

Поряд з кутовий швидкістю обертання використовують поняття періоду і частоти обертання.
ПеріодТ - проміжок часу, протягом якого тіло робить повний оборот (тобто поворот на кут φ = 2π).
Частота ν - число обертів тіла за 1 секунду.
При обертанні з кутовою швидкістю ω маємо:

Введемо вектор кутового прискорення для характеристики нерівномірного обертання тіла:

Вектор спрямований в ту ж сторону, що і при прискореному обертанні, а спрямований у протилежний бік при уповільненому обертанні (рис. 2.13).

Як і будь-яка точка твердого тіла, точка М має нормальну і тангенціальну складові прискорення. Висловимо нормальне і тангенціальне прискорення точки М через кутову швидкість і кутове прискорення: