Обчислення подвійного інтеграла

Головна | Про нас | Зворотній зв'язок

При обчисленні подвійного інтеграла елемент площі нам зручно представити в іншому вигляді. Будемо розбивати область інтегрування D в площині Oxy на часткові області за допомогою двох систем координатних ліній: x = const, y = const. Цими лініями служать прямі, паралельні відповідно осі Oy і осі Ox, а частковими областями - прямокутники зі сторонами, паралельними осям координат. Ясно, що площа кожної часткової області буде дорівнює добутку відповідних і. Тому елемент площі ми запишемо у вигляді тобто елемент площі в декартових координатах є твором диференціалів незалежних змінних. Ми маємо

При обчисленні подвійного інтеграла (*) ми будемо спиратися на той факт, що він висловлює обсяг V циліндричного тіла з основою D, обмеженого поверхнею. Нагадаємо, що ми вже займалися завданням про обсяг тіла, коли розглядали застосування певного інтеграла до задач геометрії і отримали формулу

де S (х) - площа поперечного перерізу тіла площиною, перпендикулярної до осі абсцис, а й - рівняння площин, що обмежують тіло. Застосуємо тепер цю формулу до обчислення подвійного інтеграла

Припустимо спочатку, що область інтегрування D задовольняє наступній умові: будь-яка пряма, паралельна осі Ox або Oy, перетинає кордон області не більше ніж в двох точках. Відповідне циліндричне тіло зображено на рис.3

Область D укладемо всередину прямокутника

боку якого стосуються кордону області в точках А, В, С, Е. Інтервал [а, b] є ортогональною проекцією області D на вісь Ох, а інтервал [c, d] - ортогональної проекцією області D на вісь Oy. На рис.5 область D показана в площині Оху.

Точками A і C межа розбивається на дві лінії: ABC і AEC, кожна з яких перетинається з будь-якої прямої, паралельної осі Oy, в одній точці. Тому, їх рівняння можна записати у формі, дозволеній щодо y:

Аналогічно точками В і Е межа розбивається на лінії ВАЕ і ВСЕ, рівняння яких можна записати так:

Дворазовий (повторний) інтеграл. Нехай D - область, проста в напрямку осі Oy. Розглянемо вираз. Ця конструкція визначається через два звичайних певних інтеграла. Після інтегрування по у у внутрішньому інтегралі (змінна х при цьому розглядається як постійна) і підстановки по у в межах від до виходить функція, що залежить тільки від х, яка інтегрується в межах від a до b. Надалі ми будемо зазвичай записувати цей об'єкт без внутрішніх дужок:

Можна показати, що дворазовий інтеграл має всі властивості подвійного інтеграла:

Властивості лінійності і інтегрування нерівностей випливають з цих властивостей певного інтеграла; інтеграл від одиничної функції дає площа областіD:;

теореми про оцінку і про повну загальну середню випливають з перерахованих властивостей. Єдине властивість, з яким доведеться повозитися - це властивість адитивності. Ми доведемо його в простий, але достатньою для нас формі: якщо область D розбита на дві підобласті D1 і D2 прямий, паралельної одній з координатних осей, то дворазовий інтеграл по області D дорівнює сумі інтегралів по D1 і D2: J (D) = J (D1) + J (D2).

Перший випадок: пряма x = a1 паралельна осі Oy. тоді