Нові зустрічі з геометрією

§ 7. Серединний трикутник і пряма Ейлера

Трикутник, отриманий з'єднанням середин сторін даного трикутника, назвемо серединним трикутником. На малюнку 15 трикутник A'B'C 'є серединний трикутник трикутника ABC. Розглянемо також дві медіани AA 'і BB'. пересічні в точці O. дві висоти трикутника ABC. пересічні в точці H. і дві висоти трикутника A'B'C '. пересічні в точці O. Вражаюче, як багато можна виявити, лише вивчаючи цей малюнок.

По-перше, сторони трикутника A'B'C 'паралельні сторонам трикутника ABC. тому ці трикутники подібні. Далі, C 'B' = 1 2 it; B C. тому ставлення довжин будь-яких двох відповідних відрізків (а не тільки відповідних сторін) дорівнюватиме 1. 2, В дійсності, відрізки B'C '. C'A '. A'B 'розбивають трикутник ABC на чотири конгруентних трикутника. До речі, точка P - середина відрізка B'C '- також є і серединою відрізка AA'.

Далі ми бачимо, що AC'A'B '- паралелограм, отже, пряма AA' ділить навпіл відрізок B'C '. Тому медіани трикутника A'B'C 'лежать на медіані трикутника ABC. а це означає, що обидва трикутника мають один і той же центр ваги G.

Висоти трикутника A'B'C '. зображені нами на малюнку, є серединний перпендикуляр сторін AB і BC трикутника ABC. Звідси ми робимо висновок, що точка O - Ортоцентр трикутника A'B'C '- є в той же час і центром кола, описаного навколо трикутника ABC.

Так як точка H - ортоцентр трикутника ABC. а точка O - Ортоцентр подібного йому трикутника A'B'C '. то | AH | = 2 | OA '|. Згадаймо, що за теоремою 1.32 | AG | = 2 | GA '|. І нарешті, так як обидва відрізка, AD і OA '. перпендикулярні стороні BC. то вони паралельні. отже,

Цим показано, що точки O. G, H колінеарні *) і | HG | = 2 | GO '|, т. Е. Справедлива

Теорема 1.71. Ортоцентр, центр ваги і центр описаного кола довільного трикутника лежать на одній прямій. Центроид ділить відстань від ортоцентра до центру описаного кола відносно 2. 1.

Пряма, на якій лежать ці три точки, називається прямий Ейлера цього трикутника.

*) Точки називаються колінеарними, якщо вони лежать на одній прямій. - Прим. перев.

Давайте вивчимо малюнок 15 ретельніше. Ми відзначили точку N. де пряма Ейлера HO перетинає пряму, що проходить через точку P перпендикулярно відрізку B'C '. Всі три прямі AH, PN і A'O. перпендикулярні до відрізка B'C '. паралельні. Так як | AP | = | PA '|, то пряма PN рівновіддалена від прямих AH і A'O. Отже, точка N - середина відрізка HO.

До сих пір в наших міркуваннях фігурувала сторона B'C 'трикутника A'B'C'. Якщо ми проведемо ті ж міркування, але стосовно до будь-якої іншої сторони цього трикутника, то відрізок HO залишиться тим же, і він буде ділитися навпіл серединним перпендикуляром до нової стороні. Так як у відрізка HO тільки одна середина, то ми можемо стверджувати, що серединні перпендикуляри всіх трьох сторін трикутника A'B'C 'будуть проходити через точку N. Іншими словами, точка N повинна бути центром кола, описаного навколо трикутника A'B' C '.

Отже, центр кола, описаного навколо серединного трикутника, лежить в середині відрізка HO прямий Ейлера вихідного трикутника. Крім того, так як трикутник A'B'C 'подібний трикутнику ABC. то радіус кола, описаного навколо серединного трикутника, дорівнює половині радіуса кола, описаного навколо вихідного трикутника.

Ім'я Ейлера з'являється настільки часто і в настільки багатьох областях математики, що неможливо не сказати про нього кілька слів. Леонард Ейлер народився в 1707 році в м Базелі (Швейцарія). У 1727 році він був запрошений в Україну в Харківську академію. У 1741 році він виїхав до Берліна, щоб отримати кафедру математики Прусської академії. Він повернувся до Харкова в 1766 році і залишався там аж до своєї смерті в 1783 році.

вправи

1. Накресливши новий варіант малюнка 15, заснований на малюнку 2 (замість раніше використаного малюнка 1), перевірте, що наше доведення теореми 1.71 залишається справедливим і для випадку тупоугольного трикутника ABC.

2. | OH | 2 = 9R 2 - a 2 - b 2 - c 2.

4. Якщо трикутник ABC володіє тим властивістю, що його пряма Ейлера паралельна стороні BC. то tg af; B ^ · tg af; C ^ = 3.