невласні інтеграли

Інтеграл називається невласних, якщо його подинтегральная функція має нескінченний розрив на відрізку інтегрування, або необмежена сама область інтегрування.

Невласний інтеграл сходиться, якщо існує межа цього інтеграла в точці розриву підінтегральної функції або в нескінченно віддаленій точці. В іншому випадку, невласний інтеграл розходиться.

Невласні інтеграли з необмеженими межами інтегрування

Приклад: Обчислити або показати, що інтеграл розходиться

. значить, даний інтеграл розходиться.

Приклад: Обчислити або показати, що інтеграл розходиться

Приклад: Обчислити або показати, що інтеграл розходиться

Невласні інтеграли від функцій з нескінченним розривом

Приклад: Обчислити або показати, що інтеграл розходиться

Очевидно, що в точці функція розривна

. значить, невласний інтеграл розходиться.

Приклад: Обчислити або показати, що інтеграл розходиться

3. Якщо функція має розрив в точці. що належить відрізку інтегрування. то

Приклад: Обчислити або показати, що інтеграл розходиться

На відрізку інтегрування існує точка. в якій подинтегральная функція розривна, тоді

Зауваження: Якщо функція визначена на відрізку і має всередині його кінцеве число точок розриву. то

Якщо кожен інтеграл в правій частині сходиться, то сходиться інтеграл.

Якщо ж хоча б один з інтегралів у правій частині розходиться, то і інтеграл розходиться.

Ознаки збіжності невласних інтегралів

Теорема 1: (ознака порівняння)

Нехай задані дві функції і. причому для будь-якого виконується нерівність. Тоді, якщо

а). сходиться, то сходиться

б). розходиться, то розходиться.

Теорема 2: (граничний ознака порівняння)

Нехай функції і еквівалентні в точці їх розриву або в нескінченно віддаленій точці. Тоді невласні інтеграли від цих функцій сходяться або розходяться одночасно.

Розглянемо. інтеграл сходиться, значить, по теоремі 1 сходиться вихідний інтеграл.

інтеграл розходиться і по теоремі 2 розходиться вихідний інтеграл.

інтеграл розходиться і по теоремі 2 розходиться вихідний інтеграл.

Невласні інтеграли від функцій,