нестискувані рідини
Для плоских течій рідин їх щільність можна вважати постійної уздовж всього об'єму рідини протягом всього часу руху. Такий рух називається рухом нестисливої рідини.
Загальні рівняння гідродинаміки для нестисливої рідини спрощуються. Рівняння нерозривності при приймає простий вигляд
рівняння Ейлера не змінюють свого виду, запишемо їх у вигляді
Для нестисливої рідини теплова функція записується в такий спосіб
Тоді рівняння Бернуллі для нестисливої рідини має вигляд
Особливо спрощується рівняння для потенційного течії нестисливої рідини.
При підстановці в рівняння нерозривності, отримаємо
тобто рівняння Лапласа для потенціалу.
Граничні умови. До цього рівняння повинні бути додані граничні умови на поверхні зіткнення рідини з твердими тілами:
- на нерухомих твердих поверхнях нормальна до поверхні компонента v n швидкості рідини має дорівнювати нулю, для рухомих тіл v n повинна бути дорівнює проекції швидкості руху тіла на напрямок тієї ж нормалі.
З іншого боку, швидкість v n дорівнює похідною від потенціалу у напрямку нормалі
Таким чином, граничні умови свідчать в загальному випадку, що є на кордонах заданою функцією координат і часу.
При потенційному русі швидкість пов'язана з тиском для нестисливої рідини співвідношенням
Якщо рух рідини є потенційним і викликано рухом деякого тіла то рівняння Лапласа не містить явно часу, час входить в рішення через граничні умови.
З рівняння Бернуллі видно, що при стаціонарному русі нестисливої рідини поза полем тяжіння найбільше значення тиску досягається в точках, де швидкість звертається в нуль. Така точка зазвичай є на поверхні обтічного рідиною тіла (точка О) і називається критичною точкою.
Якщо U - швидкість набігаючого на тіло потоку рідини (швидкість на нескінченності), а p 0 - тиск на нескінченності, то тиск в критичній точці дорівнює
Якщо розподіл швидкостей в рідині, що рухається залежить тільки від двох координат, то про такого перебігу говорять як про двовимірному або плоскому. Для вирішення завдань про двовимірному плині нестисливої рідини іноді зручніше використовувати функцію струму. З рівняння нерозривності
видно, що компоненти швидкості можуть бути записані у вигляді похідних
від деякої функції, званої функцією струму. Рівняння нерозривності при цьому задовольняється автоматично.
Знаючи функцію струму, можна безпосередньо визначити форму ліній струму для стаціонарного руху рідини. Диференціальне рівняння ліній струму
воно висловлює умова паралельності дотичної до лінії струму і напрямки вектора швидкості.
Підставляючи сюди вираз для швидкостей через функцію струму
звідки. Таким чином, лінії струму представляють собою сімейство кривих, які утворюються прирівнянням функції струму постійної.
Якщо між точками 1 і 2 в площині x, y провести криву, то потік рідини Q через цю криву визначиться різницею значень функції струму в цих точках незалежно від форми кривої.
Дійсно, якщо vn - проекція швидкості на нормаль до кривої в даній точці, то
Потужні методи вирішення завдань про простому потенційному обтіканні нестисливою рідиною різних профілів пов'язані із застосуванням до них теорії функцій комплексної змінної.