Напівправильні - геометрія і мистецтво

До Напівправильні многогранники відносяться правильні n - вугільні призми, все ребра яких дорівнюють. До Напівправильні многогранники відносяться і так звані антипризми з рівними ребрами.

Крім цих двох нескінченних серій напівправильних багатогранників є ще 13 напівправильних багатогранників, званих тілами Архімеда.

Найпростіші з них виходять з правильних багатогранників операцією «усічення», що складається в відсікань площинами кутів багатогранника. Якщо зрізати кути тетраедра площинами, кожна з яких відсікає третю частину його ребер, що виходять з однієї вершини, то отримаємо усічений тетраедр. має вісім граней. З них чотири - правильні шестикутники і чотири - правильні трикутники. У кожній вершині цього багатогранника сходяться три грані.

Якщо зазначеним чином зрізати верхівки октаедра і ікосаедра, то отримаємо відповідно усічений октаедр і усічений ікосаедр.

З куба і додекаедра також можна отримати усічений куб і усіченої й додекаедр.

Для того щоб отримати ще один Напівправильні багатогранник, проведемо в кубі відсікають площині через середини ребер, що виходять з однієї вершини. В результаті отримаємо Напівправильні багатогранник, до торий називається кубооктаедр. Його гранями є жердина ь квадратів, як у куба, і вісім правильних трикутників, як у октаедра.

Аналогічно, якщо в додекаедрів відсікають площині провести чере: середини ребер, що виходять з однієї вершини, то отримаємо багатогранник який називається ікосододекаедр. У нього двадцять граней - правильні трикутники і дванадцять граней - правильні п'яти косинці, т. Е. Все межі ікосаедра і Додекаедр.

До останніх двох многогранників знову можна застосувати операції усічення. Отримаємо усічений кубооктаедр і усічений ікосододекаедр.

Р омбокубооктаедр складається з граней куба і октаедра, до яких додані ще 12 квадратів.

Якщо повернути верхню восьмикутну чашу цього багатогранника на 45 °, то вийде новий багатогранник, який називається псевдоархімедовим.

Р омбоікосододека е ін відбутися ит з граней ікосаедра, додекаедра і ще 30 квадратів. П лосконосий (кирпатий) куб і плосконосий (кирпатий) додекаедр складаються з граней куба або додекаедру, оточених правильними трикутниками.

Отже, архимедови тіла:
усічений тетраедр
ромбокубоктаедр
усічений куб
ромбоікосододекаедр
усічений октаедр
ромбоусеченний кубоктаедр
усічений додекаедр
ромбоусеченний ікосододекаедр
усічений ікосаедр
кирпатий куб
кубоктаедр
кирпатий додекаедр
ікосододекаедр
псевдоромбокубоктаедр

Подвійні архімедовим тіл, так звані Каталанови тіла. мають неконгруентні межі, рівні двогранні кути і правильні багатогранні кути. Каталанови тіла теж іноді називають напівправильними многогранниками. В цьому випадку напівправильними многогранниками вважається сукупність архімедівських і каталанових тел. Архимедови тіла є напівправильними многогранниками в тому сенсі, що їх межі - правильні багатокутники, але вони не однакові, а каталанови - в тому сенсі, що їх межі однакові, але не є правильними багатокутниками; при цьому для тих і інших зберігається умова одного з типів просторової симетрії: тетраедричного, октаедричного або ікосаедрічеськая.

Тобто, напівправильними в цьому випадку називаються тіла, у яких відсутній тільки одне з перших двох з наступних властивостей правильних тел:

Всі грані є правильними багатокутниками;

Всі грані однакові;

Тіло відноситься до одного з трьох існуючих типів просторової симетрії.

Архимедови - тіла, у яких відсутня друга властивість, у каталанових відсутня перша, третя властивість зберігається для обох видів тел.

Існує 13 архімедівських тел, два з яких (кирпатий куб і кирпатий додекаедр) не є дзеркально-симетричними і мають ліву та праву форми. Відповідно, існує 13 каталанових тел:

ромбододекаедра
Ромботріаконтаедр
Тріакістетраедр
Тетракісгексаедр
Пентакісдодекаедр
Тріакісоктаедр
Тріакісікосаедр
Дельтоідальний ікосітетраедр
Дельтоідальний гексеконтаедр
пентагональними ікосітетраедр
пентагональними гексеконтаедр
Дісдакісдодекаедр
Дісдакістріаконтаедр