Найбільш ймовірне число успіхів

Найбільш ймовірне число успіхів в серії повторних незалежних випробувань - це таке число. при якому Біноміальна ймовірність є найбільшою для даного числа випробувань.

Таким чином, ймовірність є найбільшою серед ймовірностей. . ...,. ...,.

Найбільш ймовірне число успіхів задовольняє нерівності

Відзначимо, що - ціле число і може бути не єдиним.

Приклад 5. Знайти найімовірніше число придатних деталей серед 19 перевірених, якщо ймовірність деталі бути придатною, дорівнює 0,9.

За умовою завдання. . . Знайдемо ціле число. яке задовольняє нерівності:. або. або.

Це означає, що ймовірність і - найбільші серед всіх біноміальних ймовірностей при.

Найімовірніше число придатних деталей дорівнює 17 або 18. Іншими словами, при заданих умовах серед 19 перевірених деталей найімовірніше буде 17 або 18 придатних деталей.

Локальна теорема Муавра-Лапласа

2.1. Вичісленіепрі великих і не малих

Теорема. При великих значеннях і не малих ймовірність появи події раз в схемі з незалежних випробувань Бернуллі наближено обчислюється за формулою. де допоміжна величина.

Функція називається малою функцією Лапласа. Її значення наведені в таблиці (Додаток 1).

Приклад 6. Знайти ймовірність того, що при 100 підкидання монети герб з'явиться рівно 50 разів.

Подія - поява герба при одному підкиданні монети,. За умовою завдання. Так як число випробувань досить велике, то шукану ймовірність знайдемо за наближеною формулою Муавра-Лапласа:

Значення знайдено по таблиці в Додатку.

2.2. Властивості і графік функції

Властивості функції Лапласа

§. значить, графік проходить через початок координат.

§ - непарна функція, значить, графік симетричний відносно початку координат.

§. значить, прямі і є горизонтальними асимптотами. При вважають. а при вважають

Приклад 7. Знайти ймовірність того, що при = 100 підкидання монети герб з'явиться від = 40 до = 60 разів.

Імовірність знайдемо, застосовуючи наближену формулу Муавра Лапласа.

За формулою отримаємо:

Тут використано властивість непарності функції Лапласа. Значення знайдено по таблиці.

Теорема. Якщо число випробувань велике. а ймовірність появи події в кожному випробуванні мала (), то для обчислення ймовірності застосовують наближену формулу Пуассона. де - число появ події в незалежних випробуваннях; - середнє число появи події в випробуваннях. Значення функції Пуассона наведені в таблиці (Додаток 3).

Імовірність того, що абонент додзвониться протягом години (успіх) мала,. Число однакових випробувань (дзвінки абонентів) велике.

Для знаходження ймовірності застосуємо теорему Пуассона. Знайдемо значення. тоді ймовірність.

1. Опишіть схему незалежних випробувань Бернуллі. Наведіть приклад.

2. Чи можна вважати схемою Бернуллі багаторазове кидання кубика?

3. Імовірність якої події позначається?

4. Як можна знайти ймовірність. 1) при невеликому числі випробувань; 2) при великому числі випробувань?

5. Чому сума всіх біноміальних ймовірностей дорівнює 1?

6. Імовірність якої події позначається. Як можна знайти цю ймовірність: 1) при невеликому числі випробувань; 2) при великому числі випробувань?

7. Як в послідовності незалежних випробувань знайти ймовірності: 1) тільки одного успіху; 2) хоча б одного успіху; 3) повного успіху; 4) повної невдачі?

8. Що розуміється під найімовірнішим числом успіхів? Як знайти це число?

9. За яких умов може бути застосована локальна теорема Лапласа?

10. Запишіть функцію Лапласа і сформулюйте її властивості.

11. За яких умов може бути застосована інтегральна теорема Муавра-Лапласа?

12. Як знаходиться параметр в локальній формулі Лапласа?

13. За яких умов може бути застосована формула Пуассона? Наведіть приклад.

14. Як знаходиться параметр для формули Пуассона?