над многочленами

Визначення. Одночленной від змінної з коефіцієнтом з безлічі А називається вираз виду. де. - ціле невід'ємне число.

Вважається що . тому всі елементи множини А є одночленной приватного виду.

Визначення. Одночлени називаються подібними, якщо показники ступеня однакові.

Подібні одночлени складаються за правилом. яке називається правилом приведення подібних членів. Для одночленним визначається і дію множення.

Визначення. Многочленом n-го ступеня від невідомого х називається сума цілих невід'ємних ступенів, що не перевищують п. Невідомого х. взятих з деякими числовими коефіцієнтами, т. е. вираз виду

У многочлене порядок доданків байдужий, і подібні одночлени можна з'єднувати за правилом приведення подібних членів. Запис (2.1) називається канонічною формою многочлена. Іноді зручно записувати многочлени в порядку зростання показників. Багаточлени позначаються. . і т.д.

Нехай. причому. Одночлен називається вищим (старшим) членом многочлена. а показник - ступенем многочлена і позначається. Нульовий багаточлен не має вищої члена в сенсі даного визначення і вважається, що він дорівнює 0. Ступінь нульового многочлена вважається рівною символу.

Визначення. Два многочлена називаються рівними (або тотожно рівними), якщо вони складені в канонічній записи з однакових одночленним, тобто в тому і тільки в тому випадку, якщо. .

Іншими словами, в рівних многочленах рівні коефіцієнти при однакових ступенях невідомого х.

Визначення. Сумою двох многочленів називається многочлен, що виходить при об'єднанні одночленним, складових складові. Після об'єднання необхідно привести подібні члени. Таким чином, = + + ... + +.

Визначення. Твором двох многочленів називається многочлен, складений з творів всіх членів першого співмножники на всі члени другого. Після приведення подібних членів отримаємо, що =.

Коефіцієнт при дорівнює. якщо вважати, що при і при.

Нехай дано два многочлена і. причому і. Тоді твір містить ненульовий одночлен, який буде вищим для твору даних многочленів, так як інші твори членів на члени мають меншу, ніж ступінь.

Для будь-яких двох многочленів і можна знайти такі многочлени і. що

причому ступінь менше ступеня або ж. Багаточлени і. задовольняють умові (2.2), визначаються однозначно. Многочлен називається приватним. а - залишком.

Визначення. Нехай дано два ненульових многочлена і. Якщо залишок від ділення на дорівнює нулю, то многочлен називається дільником многочлена.

Визначення. Якщо - многочлен,. то називається значенням многочлена при.

Теорема. Залишок від ділення многочлена на лінійний многочлен дорівнює значенню многочлена при.

Доведення. Згідно (2). де - многочлен нульової ступеня, т. е. константа. Переходячи в цій рівності до значень при. отримаємо. звідки. Теорема доведена.

П р и м і р. Знайти залишок від ділення многочлена на многочлен.

Рішення. За доведеною раніше теоремі.

Якщо для поліномів і існує такий поліном. що. то кажуть, що поліном ділиться на поліном. Розглянемо питання про подільність на лінійний двочлен. де.

Теорема (Безу). Для того щоб поліном ділився на. необхідно і достатньо, щоб.

Доведення. А. Необхідність. Нехай ділиться на. т. е.. Тоді. Б. Достатність. Нехай. Тоді в рівності буде. т. е.. Теорема доведена.

Визначення. Число з називається коренем полінома. якщо.

З використанням цього визначення теорема Безу може бути сформульована таким чином: для того щоб поліном ділився на двочлен. необхідно і достатньо, щоб з було коренем. Таким чином, відшукання коренів многочлена рівносильно відшукання його лінійних подільників.

П р и м і р. Чи є лінійний многочлен дільником многочлена?

Рішення. Знайдемо. . отже, не є дільником многочлена.

Теорема. Нехай і. Знайдуться многочлен і число такі, що.

Доведення. Будемо шукати у вигляді. З рівності = при порівнянні коефіцієнтів отримуємо ланцюжок рівностей:. . . . . звідки послідовно визначаються коефіцієнти і залишок:

Теорема доведена. Більш того, отриманий дуже зручний спосіб обчислення коефіцієнтів і залишку. Цей спосіб зветься схеми Горнера.

П р и м і р. Знайти неповну частку і залишок від ділення многочлена на лінійний двочлен.

Рішення. Складемо таблицю:

Таким чином, . Отже,.

Визначення. Якщо. де многочлен вже не ділиться на. то число до називається кратністю корняс в многочлене. а сам корінь з - до кратної коренем цього многочлена. Якщо до = 1, то кажуть, що корінь спроста.

Теорема. Якщо число з є до кратної коренем многочлена. то при воно буде (до -1) -кратноє коренем першої похідної цього многочлена. Якщо ж . то з не служитиме коренем для.

Доведення. Нехай. В цьому випадку . . У вираженні для перший доданок не ділиться на. отже, лінійний двочлен не є дільником. т. е. з не є коренем для. Якщо ж . то. Перший доданок в цій сумі ділиться. а друге - на. отже, з - (до -1) -кратноє корінь для. Теорема доведена.

Слідство. Якщо число з є коренем для. , ...,. але не є коренем для. то в цьому випадку з - до кратної корінь многочлена.

П р и м і р. Чому дорівнює показник кратності кореня 2 для многочлена?

Рішення. При маємо. Знайдемо. ; . Знайдемо. ; . Похідна 3-го порядку:; . таким чином, кратність кореня 2 для многочлена дорівнює 3.