Монотонні послідовності 1

Послідовність називається неубивающей (незростаюча), якщо для всіх n справедливо нерівність.

Якщо виконуються суворі нерівності. то послідовність називається зростаючою (спадною). Убутні, зростаючі, неубутних і незростаюча послідовності називаються монотонними.

Монотонні послідовності обмежені або зверху, або знизу. А саме: незростаюча послідовність обмежена зверху (своїм першим елементом x1), а неубутна послідовність обмежена знизу (також елементом x1).

Якщо ж незростаюча послідовність обмежена ще й знизу, то вона є обмеженою з двох сторін. Точно так же неубутна послідовність, обмежена зверху, обмежена з двох сторін.

Якщо неубутна (незростаюча) послідовність обмежена зверху (знизу) числом M (m). то вона має межу a. причому.

З урахуванням щойно зроблених зауважень цю теорему можна сформулювати так: якщо монотонна послідовність обмежена з обох сторін, то вона сходиться.

Обмежимося доказом для неубивающей послідовності. Доведемо, що межею такій послідовності є точна верхня грань.

Оскільки - точна верхня грань безлічі елементів послідовності. то для будь-якого можемо вказати елемент xN такий, що і. Порівняємо ці нерівності і отримаємо. Оскільки - неубутна послідовність, то при N. Таким чином, при N виконуються нерівності і так як. то ці нерівності записуються у вигляді. тобто . Отже, доведено, що число - межа послідовності.

Відзначимо, що для монотонних послідовностей її елементи наближаються до межі з одного боку. Так, для неубивающей послідовності. межею якої є. для всіх n справедливо нерівність. Для немонотонність послідовностей можливе наближення до межі з обох сторін. Приклад ми вже мали:

Очевидно,. але знаки елементів цієї послідовності чергуються.

Слідство з теореми (принцип вкладених відрізків).

Нехай дана нескінченна система відрізків кожен наступний з яких міститься в попередньому, тобто . Нехай різниця (довжина відрізка) прагне до нуля при.

Тоді існує, і притому єдина точка С. належить всім відрізкам цієї системи.

Очевидно, послідовність лівих кінців відрізків є неубивающей, а послідовність правих кінців - незростаюча. Оскільки обидві ці послідовності обмежені (всі елементи послідовностей і знаходяться на відрізку), то обидві вони сходяться.

З того, що різниця випливає, що обидві ці послідовності мають загальний межа С. Тоді ясно, що. тобто точка С належить всім сегментам. Затвердження доведено.

Перш, ніж дати визначення числа e (підстави натуральних логарифмів), що грає важливу роль в математиці, нагадаю вам формулу бінома Ньютона. Мова йде про зведення двочлена (a + b) в будь-яку натуральну ступінь n.

Оскільки . можна отримати формулу.

У загальному випадку справедлива формула, що носить назву бінома Ньютона:

На підставі формули бінома Ньютона:

Звідси видно, що всі члени позитивні, так що

З іншого боку, замінивши кожну дужку одиницею, ми збільшимо цей вислів так, що:

Тепер зауважимо, що

Якщо все знаменники замінити на. то права частина тільки зросте.

Таким чином, при всіх n.

Тепер покажемо, що - зростаюча послідовність.

Порівнюючи ці вирази, зауважимо, що в вираженні для на одне позитивне доданок більше, ніж у натуральному вираженні для. Крім того, по-друге доданків в третіх доданків

Таким чином, кожний доданок в менше відповідного доданка в. Отже,. тобто послідовність - зростаюча. Оскільки вона обмежена, отже, сходиться до деякого межі e. причому e - ірраціональне число, - виражається безкінечний не-періодичної дробом.