Моменти інерції найпростіших перетинів

Розрахункові схеми конструкції

1) Брус -тіло, поперечні розміри якого набагато менше довжини (балка-перекриття)

2) Пластина -тіло, один з р-ів якого набагато менше двох інших (плита перекриття, днище двотавру)

3) Оболонка -тіло, обмежене криволінійними поверхнями, відстань між якими набагато менше радіуса кривизни (купола будівель, стінки, стінки резервуарів)

4) Масив -тіло, всі розміри якого одного порядку (платини, опори мостів)

Зовнішні, внутрішні сили

Зовнішніми називаються сили, які діють на тіло з боку інших тіл. Вони підрозділяються на зосереджені і розподілені.

F- зосереджена сила (кН)

Ме пара сил, момент (кН * м)

q- рівномірно-розподілене навантаження (кН / м)

Внутрішніми називаються сили, що виникають всередині тіла під дією зовнішніх сил.

Хаотично розташовані внутрішні сили можуть бути приведені до головного вектору і до головного моменту.

Розглянемо брус з хаотично доданими зовнішніми силами F1, F2, F3, F4

1) У межах бруса проводимо переріз перпендикулярно осі стрижня, яке ділить наш брус на 2 частини А і В

2) Відкинемо одну з частин (частина А)

3) Дія відкинутої частини замінимо 6-ю внутрішніми силовими факторами

4) Складемо 6 рівнянь рівноваги

a. Σх = 0 → N

b. Σy = 0 → Qy

c. Σz = 0 → Qz

d. ΣMx = 0 → Mx

e. ΣMy = 0 → My

f. ΣMz = 0 → Mz

Якщо будь-якої з внутрішніх силових факторів вийде негативним, то слід поміняти його напрямок на протилежне заданому.

Статичні моменти перетинів

ydA - момент елементарної площадки щодо Oz

zdA - момент елементарної площадки щодо Оу

Статичними моментами щодо осей y і z називаються інтеграли:

S - статичний момент (см 3)

Sz = y∫dA ∫ydA

Sy = z∫dA ∫zdA

Статичні моменти можуть бути негативними, позитивними і рівними нулю.

Статичний момент складної фігури дорівнює сумі статичних моментів її більш простих складових частин.

Моменти інерції перетину

Розрізняють осьові, полярні і відцентрові моменти інерції.

Осьовими моментами інерції називається інтеграл: Iz = ∫y 2 dA

Iy = ∫z 2 dA (див 4)

Полярним інтегралом інерції називається інтеграл: I # 421; = ∫ # 421; ²dA

Відцентровим моментом інерції називається інтеграл: Dyz = ∫zydA

Відцентровий момент інерції може бути позитивним, негативним і рівним нулю.

Полярний і осьові моменти інерції можуть бути тільки позитивними.

Моменти інерції найпростіших перетинів.

Iz = bh 3/12 Iz = bh 3/36 Iz = Iy = πd 4/64 Iy = πd 4/128

Iy = hb 3/12 Iy = hb 3/36 A = πd 2/2 Iy = hb³/36Iz = πd # 8308; /128 Iz1 = 0.11r 4

Моменти інерції відносно паралельних осей

Якщо Sz і Sy = 0, то формули набувають вигляду:

Iy # 8321; = Iy + b²A - формули паралельного перенесення

Момент інерції, щодо паралельних осей дорівнює сумі моменту інерції відносить центр осі і твори S (площі) фігури на квадрат відстані між цими осями.

Головні осі і головні моменти інерції

Осі, відносно яких осьові моменти інерції мають екстремальне значення, а відцентрові моменти = 0, називаються головними осями інерції. Положення головних осей інерції визначається за формулою: tg # 8322; # 945; = - 2Dyz/Iz-Iy

позитивний кут # 945; відкладається від осі z проти годинникової стрілки, якщо головні осі проходять через центр ваги перерізу, то осі називаються головними центральними осями.

Осьовими моментами інерції відносить головних центр осей, називаються головними моментами інерції і обчислюються за формулою.

1) Гіпотеза суцільності: передбачає, що матеріал заповнює весь наданий йому об'єм

2) Гіпотеза про однорідність і ізотропності: передбачає, що властивості матеріалу однакові у всіх точках і напрямках

3) Гіпотеза про ідеальну пружності: передбачає, що матеріал повністю відновлює свою форму після зняття навантаження

4) Гіпотеза про лінійну залежність між напруженнями і деформацією: передбачає, що напруги прямо пропорційні деформаціям

5) Гіпотеза про малість деформації: передбачає, що деформації (залишкові) малі в порівнянні з розмірами тіла, і ними можна знехтувати

При проектуванні конструкцій необхідно поперечні розміри брати таким чином, щоб вони не перевищували так званих допускних. розрізняють:

# 963; adm допускаються нормальні напруги

# 964; adm - допустимі дотичні напруження

# 963; adm береться для тендітних матеріалів, як частина від межі міцності. # 963; adm = # 963; l / n1

Для пластичних матеріалів на частину від межі текучості: # 1004; adm- # 1006; т/n # 8322;

n # 8321; іn # 8322; коефіцієнт запасу міцності (і більше 1)

# 1006; adm = (0,5-0,6) # 1004; adm

Розрахунки на міцність

1.Визначення напруги. Перевірка міцності

2. Визначення розміру поперечного перерізу

3. Визначення допустимої навантаження

Метод початкових параметрів

Недоліком методу безпосереднього інтегрування є необхідність визначення великої кількості довільних постійних.

Якщо балка має n-ділянок, то необхідно скласти і вирішити систему 2n алгебраїчних рівнянь.

У методі початкових параметрів незалежно від кількості дільниць, слід визначити 2 довільні постійні.

Е - модуль пружності

Iz - момент інерції щодо Оz

# 965; - прогин в даній точці

# 965; 0 - початковий прогин

# 952; про - початковий кут повороту

х - відстань від початку балки до розглянутого перетину

Постійні інтегрування мають тут простий сенс: це початкові (при x = 0) значення шуканої функції і її похідні. Тому, метод інтегрування диференціальних рівнянь, заснований на формулі, і широко застосовуваний в будівельній механіці, називається методом початкових параметрів.

Згідно методу початкових параметрів, балка розбивається на ділянки. Підставивши (12.38) в (12.39), отримаємо функцію прогинів на I ділянці балки:

Метод кінцевих різниць

Прогини найпростіших балок

З жорсткою закладенням:

Зліва - закладення; праворуч - сила, спрямована вниз; прогин - плавно переходить з 0 в закладенні до сили.

Зліва - закладення; на всьому протязі - рівномірно-розподілене навантаження; прогин як з силою - плавний перехід вниз.

Раціональні перетину балок

Раціональним називається перетин, що має найбільшу міцність і економічність.

При вигині найбільші нормальні напруги виникають в місцях найбільш віддалених від осі z.

Чим ближче до Оz, тим нормальні напруги менше, а на самій осі вони дорівнюють нулю

Так і з матеріалом: його найбільша кількість має бути зосереджено набагато менше.

Таким чином було отримано двотавровий поперечний переріз, в якому служать для сприйняття нормальних напружень, а стінка служить для з'єднання полиць і сприйняття дотичних напружень, що виникають під дією поперечних сил.

Балка рівного опору

БРС називається балка поперечного перерізу, у якій максимальні напруги у всіх перетинах однакові і рівні допускаються

Форма БРС визначається з формули:

Зрушення (зріз). Основні поняття

Зрушення (зріз) - вид напружено-деформованого стану, при якому в поперечному перерізі виникає тільки один внутрішній силовий фактор.

На зрушення (зріз) розраховують зварні болтові з'єднання і т.д.

При зсуві в перерізі виникають дотичні напруження

Q - поперечна сила; А - площа поперечного перерізу

Небезпечні точки перетину

Небезпечними є точки, найбільш віддалені від нейтральної лінії

Для їх визначення слід через всі крайні точки перетину провести лінії паралельні нейтральної

Найбільш віддалені від НЛ будуть проходити через небезпечні точки перетину