Момент імпульсу і закон його збереження

Моментом імпульсу матеріальної точки відносно довільної точки Оназивается фізична величина, яка визначається векторним твором радіус-вектора цієї матеріальної точки, проведеного з точки О, на величину її імпульсу:

де - маса матеріальної точки; - її швидкість при поступальному русі або лінійна швидкість її при обертальному русі.

Вектор спрямований так само, як і вектор кутовий швидкості. тобто уздовж осі обертання, згідно з правилом правого гвинта (рис. 4.4).

Якщо тверде тіло, що обертається навколо деякої нерухомої осі z, представити у вигляді сукупності елементарних мас, і спроектувати моменти імпульсів всіх цих елементарних мас на цей напрямок, отримаємо момент імпульсу тіла відносно цієї осі (- скалярна величина).

Підсумовування виробляємо за всіма елементарним масам (які мають лінійну швидкість і радіус обертання), на які розбивається тіло. Так як . де # 969; - кутова швидкість обертання тіла, а - момент інерції тіла відносно даної осі, тоді момент імпульсу тіла відносно осі z дорівнює

У разі тіла, що обертається навколо осі симетрії, вектори
і мають однаковий напрям і тоді

Продифференцируем вираз (4.2) за часом:

Таким чином, похідна по часу від моменту імпульсу твердого тіла відносно осі обертання дорівнює моменту сил відносно тієї ж осі.

Вирази (4.2) і (4.3) - ще дві форми основного рівняння динаміки обертального руху твердого тіла відносно нерухомої осі z.

Можна показати, що має місце векторне рівність:

З рівняння (4.4) видно, що якщо момент зовнішніх сил, що діють на тіло, дорівнює нулю, то момент імпульсу тіла залишається постійним.

Вираз (4.5) являє собою закон збереження моменту імпульсу.

Для замкнутої системи тіл закон збереження моменту імпульсу формулюється так: момент імпульсу замкнутої системи тіл не змінюється з часом, причому це твердження справедливе для моменту імпульсу, взятого відносно будь-якої точки інерціальної системи відліку. Цей закон виконується тільки в інерційних системах відліку.

Закон збереження моменту імпульсу - фундаментальний закон природи. Він пов'язаний з властивістю симетрії простору - його
ізотропності. тобто з инвариантностью фізичних законів щодо повороту замкнутої системи в просторі на будь-який кут.

Вільні осі. гіроскопи

Для того щоб зберегти становище осі обертання твердого тіла з плином часу незмінним, використовують підшипники, в яких вона утримується. Але існують такі осі обертання тіл, які не змінюють свою орієнтацію в просторі без дії на неї зовнішніх сил. Ці осі називаються вільними осями (або осями вільного обертання). Можна показати, що в будь-якому тілі існують три взаємно перпендикулярні осі, що проходять через центр мас тіла, які можуть служити вільними осями - вони називаються головними осями інерції тіла.

Наприклад, головні осі інерції однорідного прямокутного паралелепіпеда проходять через центри протилежних граней; головними осями інерції кулі є будь-які три взаємно перпендикулярні осі, що проходять через центр мас.

Властивість вільних осей зберігати своє положення в просторі широко застосовується в техніці. Найбільш цікаві в цьому відношенні гіроскопи - масивні однорідні тіла, що обертаються з великою кутовою швидкістю біля своєї осі симетрії, що є вільною віссю. Гіроскопи застосовують в різних гіроскопічних навігаційних приладах (гірокомпас, гірогорізонт і т.д.), а також в різних автопілоті.

4.6. Зіставлення формул кінематики та динаміки
поступального і обертального рухів

На рис.4.5 представлені напрями векторів лінійної
швидкості. кутової швидкості і псевдовектори кута повороту при обертальному русі.

На рис.4.6 представлені напрями векторів лінійної
швидкості. тангенціального. нормального і повного прискорень в разі рівноприскореного (див. рис.4.6, а) і равнозамедленно (див. рис.4.6, б) обертальних рухів.

Рис.4.6. Зв'язок між векторами і

У табл.3 і 4 наведено зіставлення формул кінематики і динаміки поступального і обертального рухів.

Зіставлення формул кінематики